[論文レビュー] Ricci solitons on Ricci pseudosymmetric $(LCS)_n$-manifolds

Shyamal Kumar Hui, Richard S. Lemence+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、さまざまな曲率テンソル（concircular、projective、$W_3$、conharmonic、conformal）に関してリッチ擬対称性を示す$(LCS)_n$-多様体上のリッチソリトンを調査する。各ケースについて関数$L_S$の明示的表現を導出し、リッチソリトンが収縮、定常、または拡大するかどうかを決定する臨界値を同定する。特に3次元におけるconcircularケースについて、具体的な例を構成している。

ABSTRACT

The object of the present paper is to study some types of Ricci pseudosymmetric $(LCS)_n$-manifolds whose metric is Ricci soliton. We found the conditions when Ricci soliton on concircular Ricci pseudosymmetric, projective Ricci pseudosymmetric, $W_{3}$-Ricci pseudosymmetric, conharmonic Ricci pseudosymmetric, conformal Ricci pseudosymmetric $(LCS)_n$-manifolds to be shrinking, steady and expanding. We also construct an example of concircular Ricci pseudosymmetric $(LCS)_3$-manifold whose metric is Ricci soliton.

研究の動機と目的

• 異なる曲率テンソルに関してリッチ擬対称性を示す$(LCS)_n$-多様体上のリッチソリトンを調査すること。
• このようなリッチソリトンが収縮、定常、または拡大する条件を特定すること。
• 各タイプのリッチ擬対称性に付随する関数$L_S$の明示的表現を導出すること。
• リッチソリトンを有するconcircularリッチ擬対称$(LCS)_3$-多様体の具体的な例を構成すること。
• 各曲率タイプに応じた、リッチソリトン型（収縮、定常、拡大）を分離する$L_S$の臨界値を同定すること。

提案手法

• $S \neq \frac{r}{n}g$ である集合上で、$(R(X,Y)\cdot S)(Z,U) = L_S \cdot Q(g,S)(Z,U;X,Y)$ という条件によりリッチ擬対称性を定義する。
• $(LCS)_n$-多様体構造にリッチソリトン条件$\mathcal{L}_V g + 2S + 2\lambda g = 0$を適用する。
• concircularベクトル場$P$、1形式$\eta$、および関連関数$\alpha$、$\rho$、$\lambda$を含む$(LCS)_n$-多様体の幾何的性質を活用する。
• 各曲率テンソル（concircular、projective、$W_3$、conharmonic、conformal）がリッチテンソルに作用する様子を計算し、テンソリアル恒等式を用いて$L_S$の表現を導出する。
• 導出された$L_S$の表現を用いて、$\lambda$の符号を分析し、それがソリトン型（収縮、定常、拡大）を決定することを検証する。
• 定理3.1の検証を目的として、3次元のconcircularリッチ擬対称$(LCS)_3$-多様体にリッチソリトンを有する具体的な例を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 concircularリッチ擬対称$(LCS)_n$-多様体上のリッチソリトンが、どのような条件下で収縮、定常、または拡大するか。
• RQ2 $(LCS)_n$-多様体における異なるタイプのリッチ擬対称性（projective、$W_3$、conharmonic、conformal）において、関数$L_S$はどのように変化するか。
• RQ3 各曲率に基づくリッチ擬対称$(LCS)_n$-多様体において、ソリトン型を決定する$L_S$の臨界値は何か。
• RQ4 リッチソリトンを持つconcircularリッチ擬対称$(LCS)_3$-多様体の具体的な例を明示的に構成できるか。
• RQ5 幾何的不変量$\alpha$、$\rho$、$n$は、これらの多様体におけるリッチソリトンの分類にどのように影響するか。

主な発見

• concircularリッチ擬対称$(LCS)_n$-多様体では、$L_S = (\alpha^2 - \rho) + \frac{\lambda}{n-1} + \frac{\alpha}{n}$ であり、$L_S < \frac{\alpha}{n} + (\alpha^2 - \rho)$、$= \frac{\alpha}{n} + (\alpha^2 - \rho)$、$> \frac{\alpha}{n} + (\alpha^2 - \rho)$ の場合にそれぞれ収縮、定常、拡大となる。
• projectiveリッチ擬対称$(LCS)_n$-多様体では、$L_S = \left(1 + \frac{2\lambda}{\alpha}\right)(\alpha^2 - \rho)$ であり、$\alpha > \alpha^2 - \rho$ の条件下で、$L_S$の臨界値は$\alpha^2 - \rho$ である。
• $W_3$-リッチ擬対称$(LCS)_n$-多様体では、$L_S = \left(1 + \frac{2\lambda}{\alpha}\right)(\alpha^2 - \rho) - \frac{\alpha + \lambda}{n-1}$ であり、臨界値は$\alpha^2 - \rho - \frac{\alpha}{n-1}$ である。これは、$\frac{(n-1)\alpha}{2(n-1)(\alpha^2) - \alpha} > 0$ のとき有効である。
• conharmonicリッチ擬対称$(LCS)_n$-多様体では、$L_S = \frac{\alpha + 2\lambda}{n-2} - (\alpha^2 - \rho)$ であり、臨界値は$\frac{\alpha}{n-2} - (\alpha^2 - \rho)$ である。
• conformalリッチ擬対称$(LCS)_n$-多様体では、$L_S = \frac{\lambda}{n-1} - (\alpha^2 - \rho)$ であり、臨界値は$-(\alpha^2 - \rho)$ である。これにより、$L_S < -(\alpha^2 - \rho)$、$= -(\alpha^2 - \rho)$、$> -(\alpha^2 - \rho)$ の場合にそれぞれ$\lambda < 0$、$= 0$、$> 0$ となる。
• 定理3.1の検証を目的として、リッチソリトンを持つconcircularリッチ擬対称$(LCS)_3$-多様体の具体的な例が構成され、導出された$L_S$の表現およびソリトン型分類が確認された。