[論文レビュー] Ricci tensor on ${ m RCD}^*(K,N)$ spaces

Bang-Xian Han|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用数 28

ひとこと要約

本稿は、${\rm RCD}^*(K,N)$ 条件を満たす滑らでない距離測度空間上における $N$ 次元リッチ曲率テンソルの厳密な定義を確立する。ギリの枠組みとシュトゥルムのアプローチを有限次元の場合に拡張することで、$N$-リッチテンソルが $K$ 以上であることは、かつそれが空間が ${ m RCD}^*(K,N)$ であることと同値であることを証明し、特異空間へのバクリ＝エメリー理論の一般化を達成する。

ABSTRACT

We obtain an improved Bochner inequality based on the curvature-dimension condition ${ m RCD}^*(K,N)$ and propose a definition of $N$-dimensional Ricci tensor on metric measure spaces.

研究の動機と目的

• 滑らでない距離測度空間において、古典的微分幾何学が適用できない状況でも意味のある $N$ 次元リッチ曲率の概念を定義すること。
• 滑らかさの構造が欠如している状況、特に $N$ が有限のとき、ヘッセ行列とトレース項をいかに意味的に定義するかという課題に取り組むこと。
• ${\rm RCD}^*(K,N)$ 条件を $N$-リッチテンソルを用いて特徴づけることにより、特異空間へのボッハーナー不等式の一般化を達成すること。
• 滑らでない設定において、ボッハーナー不等式とリッチ曲率テンソルの間のギャップを埋め、滑らかなリーマン幾何学と整合性を保つこと。

提案手法

• Gigli の ${\rm RCD}(K,\infty)$ 空間上の微分構造理論を適応し、公式 ${\bf Ricci}_N(X,X) := {\bf \Gamma}_2(X,X) - |(\nabla X)^b|^2_{\rm HS} - \frac{1}{N - \dim_{\rm loc}}(\mathrm{tr}(\nabla X)^b - \mathrm{div}X)^2$ を用いて $N$-リッチテンソルを定義する。
• 定理 3.3 における改良版ボッハーナー不等式を用いて、ラプラシアンおよびヘッセ項を用いて $N$-リッチテンソルの下界を導出する。
• 全 variation 範数における密度法と連続的拡張を用いて、一般の $L^\infty$-値ベクトル場へ不等式を拡張する。
• ${\bf \Gamma}_2(X,X)$ およびトレース・発散項の $L^1$-位相における連続性に依拠し、テスト・ベクトル場から全空間 $H^{1,2}_H(TM)$ への拡張を正当化する。
• コーシー＝シュワルツとトレース恒等式を用いて逆不等式を証明することで、$N$-リッチテンソルの下界と ${\rm RCD}^*(K,N)$ 条件との同値性を確立する。
• $N$-リッチテンソルの定義を用いて、すべての $f \in {\rm TestF}(M)$ に対して標準的なボッハーナー不等式 $ {\bf \Gamma}_2(f) \geq \frac{1}{N}(\Delta f)^2 + K|Df|^2 $ が成り立つことを導出し、滑らかな理論と整合することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らでない距離測度空間で ${\rm RCD}^*(K,N)$ を満たす場合に、意味的である $N$ 次元リッチ曲率テンソルを構成可能か？
• RQ2 滑らかさが欠如している状況で、リッチ曲率式におけるヘッセ行列とトレース項をどのように意味的に定義できるか？
• RQ3 $N$-リッチテンソルの下界 $K$ が、滑らでない設定において ${\rm RCD}^*(K,N)$ 条件を特徴づけるか？
• RQ4 $N$-リッチテンソルの定義は、滑らかな状況で古典的バクリ＝エメリー公式と整合性を保っているか？
• RQ5 滑らでない設定において、$N$-リッチテンソルの下界からボッハーナー不等式を回復できるか？

主な発見

• 第二順序エネルギー形式 ${\bf \Gamma}_2$、ヘッセ行列のヒルベルト＝シュミットノルム、およびトレース補正項を含む公式を用いて、${\rm RCD}^*(K,N)$ 空間上で $N$-リッチテンソルが厳密に定義される。
• $N$-リッチテンソルは、すべての $X \in H^{1,2}_H(TM)$ に対して $ {\bf Ricci}_N(X,X) \geq K|X|^2\mathfrak{m} $ を満たし、滑らかな状況では等号が成立する。
• すべての $f \in {\rm TestF}(M)$ に対して不等式 $ {\bf \Gamma}_2(f) \geq \frac{1}{N}(\Delta f)^2 + K|Df|^2 $ が成り立つことが確認され、ボッハーナー不等式と整合している。
• $N$-リッチテンソルが $K$ 以上であることは、かつそれが空間が ${\rm RCD}^*(K,N)$ であることと同値である。これは、曲率次元条件の特徴づけを確立する。
• 全 variation 位相における密度法と連続性の議論により、単純関数から $L^\infty$-値ベクトル場への定義の連続的拡張が実現される。
• この構成により、有限次元の滑らでない設定における $N$ 次元リッチ曲率の正当化がなされ、バクリ＝エメリー理論が距離測度空間への有限次元への一般化が達成される。