[論文レビュー] Richardson-Gaudin models and broken integrability

Pieter W. Claeys|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2018

Quantum many-body systems参考文献 28被引用数 9

ひとこと要約

本学位論文は、可解性技術、特にベーテアンザッツを、可解および非可解リチャードソン＝ゴードン模型に適用するためのフレームワークを開発する。固有値に基づく変数と行列式表現を活用することで、非線形ベーテ方程式を解かずに内積や相関関数を効率的に計算可能となり、厳密可解性を超える量子多体系の研究に向けた堅牢な手法を提供する。

ABSTRACT

This thesis presents an introduction to the class of Richardson-Gaudin integrable models, with special focus on the Bethe ansatz wave function, and investigates ways of applying the properties of Richardson-Gaudin models both in and out of integrability. A framework is outlined for the numerical and theoretical treatment of these systems, exposing a duality allowing the Bethe equations to be solved numerically. This is extended to the calculation of inner products and correlation functions. Using this framework, the influence of particle exchange on the Bethe ansatz is discussed, after which it is shown how the Bethe ansatz is able to accurately model wave functions of non-integrable models in two different settings. First, a variational approach is outlined for stationary models where integrability-breaking perturbations are explicitly introduced. Second, an alternative way of breaking integrability is through the introduction of dynamics and periodic driving, where it is shown how integrability can be used to model the resulting Floquet many-body resonances. Throughout this work, it is shown how the clear-cut structure and relatively large freedom in Richardson-Gaudin models makes them ideal for an investigation of the general principles of integrability, as well as being a perfect testing ground for the development of new quantum many-body techniques beyond integrability.

研究の動機と目的

• 保存量の固有値を用いた双対パラメータ化により、ベーテアンザッツ技法の適用範囲を厳密可解系に限らないように拡張すること。
• 非線形ベーテ方程式を解く際の数値的困難を克服するため、計算に適した固有値に基づく変数を用いること。
• ベーテ状態を明示的な急速度の知識なしに完全に特徴づける内積および行列要素の行列式表現を確立すること。
• 非可解系、特に駆動および摂動されたハミルトニアンにおいて、可解性に基づく手法をバリエーショナル手法として応用すること。
• 周期的駆動および粒子交換による可解性破れの役割を調査し、新たな多体共鳴および相転移を明らかにすること。

提案手法

• ベーテ状態の二重パラメータ化を導入：通常のベーテアンザッツによる急速度を用いる表現と、保存量の固有値を用いる別の表現を提供し、代替的な計算経路を可能にする。
• 固有値に基づく変数を用いて、内積および相関関数の行列式表現を導出することで、非線形ベーテ方程式の解法を回避する。
• これらの行列式表現とカウチ行列構造との関係を確立し、スピンおよびボソン的リチャードソン＝ゴードン模型の両者に統一的な数学的枠組みを提供する。
• 擬似変形形式を用いて異なる代数を関連づけ、スピン模型の結果をボソン的自由度を有する模型へと拡張可能にする。
• ベーテ状態を試行波動関数として用いるバリエーショナル手法「リチャードソン＝ゴードン配置相互作用」を構築する。
• 有効フロケハミルトニアンに可解性技術を適用することで、周期的駆動系を分析し、ベーテ状態における多体共鳴を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形ベーテ方程式を解かずに、固有値に基づく変数がリチャードソン＝ゴードン模型におけるベーテ状態を完全に特徴づけられるか。
• RQ2 固有値データのみを用いて、内積および行列要素の行列式表現をどのように構築できるか。
• RQ3 可解性に基づく手法が、非可解量子多体系においてどの程度バリエーショナル手法として機能できるか。
• RQ4 周期的駆動による可解性破れが、ベーテ状態における多体共鳴の構造に及ぼす影響は何か。
• RQ5 粒子交換およびバスタイムへの結合が、超伝導系におけるトポロジカル相転移に与える影響は何か。これらはベーテアンザッツ技法によって理解可能か。

主な発見

• 固有値に基づく変数は、数値的に安定かつ完全にベーテ状態を特徴づけ、急速度の明示的解が不要な状態で内積や相関関数の計算を可能にする。
• 内積および行列要素の行列式表現が、固有値データのみから導出され、カウチ行列構造と直接的な関係を確立し、効率的な計算を可能にする。
• バリエーショナル手法「リチャードソン＝ゴードン配置相互作用」は、可解性破壊摂動後においても、核ペアリングハミルトニアンの集団的基底状態および励起状態を正確にモデル化できる。
• 駆動系において、可解性技術はベーテ状態における多体共鳴を明らかにし、ベーテアンザッツがフロケハミルトニアンにおける非平衡ダイナミクスを記述可能であることを示している。
• トポロジカル超伝導体をバスタイムに結合すると、トポロジカル相転移の代わりにリード＝グリーン共鳴が生じるが、ベーテアンザッツ解析によりこのメカニズムが明確にされた。
• 擬似変形を介して、スピンおよびボソン的模型を含むさまざまな代数へ一般化可能であり、可解および準可解系への広範な適用可能性を示している。