[論文レビュー] Richardson Varieties in the Grassmannian

Victor Kreiman, V. Lakshmibai|ArXiv.org|Mar 27, 2002

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 14被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、グラスマンニアン内のリチャードソン多様体について、標準単項式理論を確立し、高次コホモロジーの消失定理を証明し、T固定点における重複度の再帰的公式を導出し、T固定点におけるリチャードソン多様体の重複度が、対応するシューベルト多様体と反対シューベルト多様体の重複度の積に一致することを示している。これにより、ピュッカー座標と古典的ピエリ公式を用いて、ローゼンタール＝ツェレヴィンスキーの行列式公式がリチャードソン多様体へ一般化される。

ABSTRACT

The Richardson variety $X_w^v$ is defined to be the intersection of the Schubert variety $X_w$ and the opposite Schubert variety $X^v$. For $X_w^v$ in the Grassmannian, we obtain a standard monomial basis for the homogeneous coordinate ring of $X_w^v$. We use this basis first to prove the vanishing of $H^i(X_w^v,L^m)$, $i > 0 $, $m \geq 0$, where $L$ is the restriction to $X_w^v$ of the ample generator of the Picard group of the Grassmannian; then to determine a basis for the tangent space and a criterion for smoothness for $X_w^v$ at any $T$-fixed point $e_ $; and finally to derive a recursive formula for the multiplicity of $X_w^v$ at any $T$-fixed point $e_ $. Using the recursive formula, we show that the multiplicity of $X_w^v$ at $e_ $ is the product of the multiplicity of $X_w$ at $e_ $ and the multiplicity of $X^v$ at $e_ $. This result allows us to generalize the Rosenthal-Zelevinsky determinantal formula for multiplicities at $T$-fixed points of Schubert varieties to the case of Richardson varieties.

研究の動機と目的

• グラスマンニアン内のリチャードソン多様体について、ピュッカー座標を用いた標準単項式理論の構築。
• リチャードソン多様体上のラインバンドの高次コホモロジー群の消失の証明。
• T固定点における接空間の基底と滑らかさの基準の特定。
• T固定点におけるリチャードソン多様体の重複度の再帰的公式の導出。
• シューベルト多様体の重複度に関するローゼンタール＝ツェレヴィンスキーの行列式公式をリチャードソン多様体へ一般化すること。

提案手法

• ピュッカー座標を用いて、グラスマンニアン内のリチャードソン多様体 $X_w^v$ の斉次座標環に対する標準単項式基底を構成する。
• 標準単項式基底を用いて、古典的ピエリ公式を用いて $H^i(X_w^v, L^m) = 0$ ($i > 0$, $m \geq 0$) を証明する。
• 反対細胞 $\mathcal{O}^{-}_\tau \cong \mathbb{A}^{d(n-d)}$ における局所構造を調べることで、T固定点 $e_\tau$ における接空間を分析する。
• シューベルト多様体と反対シューベルト多様体がスカラー倍に関して不変であることに基づき、$e_\tau$ における $X_w^v$ の重複度の再帰的公式を導出する。
• ベズウの定理を適用して、$e_\tau$ における $X_w^v$ の重複度が、$X_w$ と $X^v$ の重複度の積に等しいことを示し、横断的交差の性質を活用する。
• ローゼンタール＝ツェレヴィンスキーの行列式公式を一般化し、$e_\tau$ における $X_w^v$ の重複度を、$X_w$ と $X^v$ に対応する2つの行列式の積として表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラスマンニアン内のリチャードソン多様体の座標環に対して、どのように標準単項式基底を構成できるか？
• RQ2 リチャードソン多様体上のラインバンドのコホモロジー的性質は何か、特に高次コホモロジーの消失は？
• RQ3 T固定点におけるリチャードソン多様体の接空間の構造と滑らかさの基準は何か？
• RQ4 T固定点におけるリチャードソン多様体の重複度は再帰的に計算可能か？もし可能であれば、その方法は、構成要素のシューベルト多様体と反対シューベルト多様体の重複度とどのように関係するか？
• RQ5 シューベルト多様体の重複度に関するローゼンタール＝ツェレヴィンスキーの行列式公式は、リチャードソン多様体へ拡張可能か？

主な発見

• グラスマンニアン内のリチャードソン多様体 $X_w^v$ の斉次座標環は、ピュッカー座標から構成される標準単項式基底をもつ。
• ラインバンド $L$ に対して、$H^i(X_w^v, L^m)$ はすべての $i > 0$ および $m \geq 0$ に対して消失する。ここで $L$ はピック群の正則生成元の制限である。
• T固定点 $e_\tau$ における $X_w^v$ の重複度は、反対細胞における局所構造に基づいた再帰的公式で与えられる。
• T固定点 $e_\tau$ における $X_w^v$ の重複度は、$X_w$ と $X^v$ の重複度の積に等しく、すなわち $\operatorname{mult}_{\tau}(X_w^v) = \operatorname{mult}_{\tau}(X_w) \cdot \operatorname{mult}_{\tau}(X^v)$ が成り立つ。
• 重複度 $\operatorname{mult}_{\tau}(X_w^v)$ の一般化された行列式公式が導出され、$X_w$ と $X^v$ に対応する2つの行列式の積として表現される。行列式の要素には二項係数と組合せ的重み $\kappa_q$ と $\gamma_q$ が含まれる。
• この公式はローゼンタール＝ツェレヴィンスキーの結果をリチャードソン多様体へ拡張し、行列式表現は明示的に $i_q$, $j_q$, $\kappa_q = \#\{\tau_p \mid \tau_p > i_q\}$, および $\gamma_q = \#\{\tau_p \mid \tau_p < j_q\}$ を含む。