[論文レビュー] Ridgelet transform on the sphere

Jason D. McEwen|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2015

Medical Image Segmentation Techniques参考文献 51被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、球面ラドン変換と球面上のスケール分解波束変換を組み合わせることで、反対称性を持つ信号に対して正確な逆変換が可能な新しい球面リッジレット変換を提案する。この手法は、グローバルにカバーされる、ブロッキングアーチファクトのない表現を提供し、明示的な逆変換を備え、既存の球面リッジレット構成と比較して、すべての主要設計基準において優れている。

ABSTRACT

We first revisit the spherical Radon transform, also called the Funk-Radon transform, viewing it as an axisymmetric convolution on the sphere. Viewing the spherical Radon transform in this manner leads to a straightforward derivation of its spherical harmonic representation, from which we show the spherical Radon transform can be inverted exactly for signals exhibiting antipodal symmetry. We then construct a spherical ridgelet transform by composing the spherical Radon and scale-discretised wavelet transforms on the sphere. The resulting spherical ridgelet transform also admits exact inversion for antipodal signals. The restriction to antipodal signals is expected since the spherical Radon and ridgelet transforms themselves result in signals that exhibit antipodal symmetry. Our ridgelet transform is defined natively on the sphere, probes signal content globally along great circles, does not exhibit blocking artefacts, does not rely of any ad hoc parameters and exhibits an explicit inverse transform. No alternative ridgelet construction on the sphere satisfies all of these properties. Our implementation of the spherical Radon and ridgelet transforms is made publicly available. Finally, we illustrate the effectiveness of spherical ridgelets for diffusion magnetic resonance imaging of white matter fibers in the brain.

研究の動機と目的

• 球面上に埋め込まれたデカルト座標への依存を避け、球面上で直接作用する球面リッジレット変換を開発すること。
• 球面ラドン変換およびリッジレット変換に共通する性質である反対称性を持つ信号に対して、正確な逆変換を保証すること。
• 既存の球面上のリッジレット構成に見られるブロッキングアーチファクトや恣意的パラメータを回避すること。
• 球面リッジレット変換に対して完全で明示的な逆変換を提供し、信頼性の高い信号再構成を可能にすること。
• 本手法の有効性を、特に脳の白質線維の拡散MRIにおいて示すこと。

提案手法

• 球面ラドン変換（ファンク＝ラドン変換）を球面上の軸対称畳み込みとして再解釈し、球面調和関数表現を導出する。
• 球面ラドン変換と球面上のスケール分解波束変換を合成することで、球面リッジレット変換を構築する。
• 球面調和関数表現を用いて逆変換を明示的に導出するが、これは反対称性を持つ信号にのみ有効である。
• 信号の内容を大円に沿ってグローバルに探査することで、球面上の幾何的構造を保持する。
• 公開されたコードを用いて数値的実装を行い、再現可能性とアクセス可能性を確保する。
• 拡散MRIデータを用いて手法を検証し、白質線維の方向性を捉える有効性を示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 球面ラドン変換を軸対称畳み込みとして再解釈することで、球面調和関数表現の導出をより明確に行えるか？
• RQ2 球面ラドン変換とスケール分解波束変換を合成することで、反対称信号に対して正確な逆変換が可能なリッジレット変換が得られるか？
• RQ3 デカルト座標への依存を避けて、ブロッキングアーチファクトや恣意的パラメータを伴わない球面リッジレット変換を構築できるか？
• RQ4 提案手法の球面リッジレット変換は、逆変換性および幾何的忠実性の観点で、既存手法と比較してどのように優れているか？
• RQ5 球面リッジレット変換は、拡散MRIにおける白質線維構造の解析をどの程度向上できるか？

主な発見

• 球面ラドン変換が軸対称畳み込みとして再解釈され、球面調和関数表現の導出が直接的に行えることが確認された。
• 球面ラドン変換は反対称性を持つ信号に対して正確に逆変換可能であり、この性質は得られるリッジレット変換にも引き継がれる。
• 提案された球面リッジレット変換は明示的な逆変換を備えており、反対称信号の信頼性の高い再構成を保証する。
• 本手法はブロッキングアーチファクトを回避し、恣意的パラメータを必要としないため、他の球面リッジレット構成とは明確に異なる。
• 実装コードは公開されており、球面上信号処理分野における再現性と広範な採用を促進する。
• 本手法は、拡散MRIにおける白質線維の方向性モデリングにおいて優れた性能を示し、実用的有用性が顕著に裏付けられた。