[論文レビュー] Rieffel deformation and twisted crossed products

Ingrid Beltiţă, M. Mantoiu|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2012

Advanced Operator Algebra Research参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、シンプレクティック形式によってねじれたベクトル群作用の下でのリエフラーの $C^*$-代数の変形と、それに対応するねじれたクロスタード積代数の安定的同型を確立する。標準的写像 $M$ を用いて、ねじれたクロスタード積がリエフラー変形代数とコンパクト作用素のテンソル積に同型であることを証明し、$K$-理論的不変性と表現論的同値性を示す。

ABSTRACT

To a continuous action of a vector group on a $C^*$-algebra, twisted by the imaginary exponential of a symplectic form, one associates a Rieffel deformed algebra as well as a twisted crossed product. We show that the second one is isomorphic to the tensor product of the first one with the $C^*$-algebra of compact operators in a separable Hilbert space and we indicate some applications.

研究の動機と目的

• リエフラー変形された $C^*$-代数と、同一のデータから生じるねじれたクロスタード積代数との間の明確な同型を確立すること。
• ねじれたクロスタード積がコンパクト作用素とテンソル積をとることで、リエフラー変形と安定的同型であることを示すこと。
• 2つの代数が同一の原始的イデアル空間、閉じた両側イデアル、および表現論を共有することを示すこと。
• クロスタード積の技法を用いて、リエフラー変形における $K$-群の不変性を再証明すること。
• この枠組みを可換 $C^*$-代数へと拡張し、スペクトル理論およびモodulation空間への応用を検討すること。

提案手法

• ベクトル群 $\Xi$ の連続的作用 $\Theta$ と歪対称作用素 $J$（シンプレクティック形式を定義）を用いて、$C^*$-代数 $\mathcal{A}$ からリエフラー変形代数 $\mathfrak{A}$ を構成する。
• $2$-コサイクル $\kappa(X,Y) = \exp(-i/2 \cdot [X,Y])$ を定義し、$(\Theta, \kappa)$ を $\mathcal{A}$ 上のねじれた作用とする。
• 共変表現の普遍的 $C^*$-代数として、ねじれたクロスタード積 $\mathcal{A} \rtimes_\Theta^\kappa \Xi$ を構成する。
• フレシェ部分代数（シュワーツ型関数）間の標準的写像 $M: \mathscr{K} \otimes \mathfrak{A} \to \mathcal{A} \rtimes_\Theta^\kappa \Xi$ を定義する。
• 等長写像の議論を用いて $M$ を $C^*$-同型に拡張し、$\mathscr{K} \otimes \mathfrak{A} \cong \mathcal{A} \rtimes_\Theta^\kappa \Xi$ を証明する。
• コンネスのトム同型と安定性の性質を用いて、$K$-群の不変性および核型の保存を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リエフラー変形代数 $\mathfrak{A}$ は、ねじれたクロスタード積 $\mathcal{A} \rtimes_\Theta^\kappa \Xi$ と安定的同型であるか？
• RQ2 $\mathscr{K} \otimes \mathfrak{A}$ と $\mathcal{A} \rtimes_\Theta^\kappa \Xi$ の間の標準的同型 $M$ の明確な性質は何か？
• RQ3 安定的同型は、変形代数の $K$-理論にどのように影響するか？
• RQ4 代数 $\mathcal{A}$ が可換である場合、原始的イデアル空間および表現論にどのような影響があるか？
• RQ5 不変測度の下で、$L^2$-空間上での標準的写像 $M$ はユニタリであるか？

主な発見

• ねじれたクロスタード積 $\mathcal{A} \rtimes_\Theta^\kappa \Xi$ は、リエフラー変形代数 $\mathfrak{A}$ とコンパクト作用素のテンソル積 $\mathscr{K} \otimes \mathfrak{A}$ に $*$-同型である。
• 標準的写像 $M: \mathscr{K} \otimes \mathfrak{A} \to \mathcal{A} \rtimes_\Theta^\kappa \Xi$ は、等長写像の議論により $C^*$-同型に拡張可能である。
• $\mathfrak{A}$ と $\mathcal{A}$ の $K$-群は同型であり、リエフラー変形における $K$-理論的不変性の新たな証明が得られる。
• $\mathfrak{A}$ と $\mathcal{A} \rtimes_\Theta^\kappa \Xi$ の原始的イデアル空間は位相的に同相であり、それらの閉じた両側イデアルは一対一に対応する。
• $\mathcal{A} = C_0(\Sigma)$ が可換であるとき、$\mathfrak{C}(\Sigma)$ の原始的イデアル空間は、作用が自由であれば、準軌道空間 $Q^\Theta(\Sigma)$ と位相的に同相である。
• 測度 $d\sigma$ が $\Theta$-不変であるとき、標準写像 $M$ は $L^2(\Xi \times \Sigma)$ 上のユニタリ作用素に拡張可能であり、$\langle \overline{M(F)}, M(G) \rangle = \langle \overline{F}, G \rangle$ を満たす。