[論文レビュー] Riemann-Hilbert approach to the modified nonlinear Schröinger equation with non-vanishing asymptotic boundary conditions

Yiling Yang, Engui Fan|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2019

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 45被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、空間無限遠における非消滅境界条件を有する修正非線形シュレーディンガー（mNLS）方程式に対して、リーマン＝ヒルベルト（RH）手法を開発する。スペクトルパラメータを一価関数に写像する二枚のリーマン面を導入することで、著者らは明示的な $N$-ソリトン解を導く行列RH問題を確立した。これにより、離散スペクトルの分布と非ゼロ境界条件が、二峰性局在波や非ゼロ背景尾ていを含むソリトンダイナミクスに与える影響が明らかになった。

ABSTRACT

The modified nonlinear Schrödinger (NLS) equation was proposed to describe the nonlinear propagation of the Alfven waves and the femtosecond optical pulses in a nonlinear single-mode optical fiber. In this paper, the inverse scattering transform for the modified NLS equation with non-vanishing asymptotic boundary at infinity is presented. An appropriate two-sheeted Riemann surface is introduced to map the original spectral parameter $k$ into a single-valued parameter $z$. The asymptotic behaviors, analyticity and the symmetries of the Jost solutions of Lax pair for the modified NLS equation, as well as the spectral matrix are analyzed in details. Then a matrix Riemann-Hilbert (RH) problem associated with the problem of nonzero asymptotic boundary conditions is established, from which $N$-soliton solutions is obtained via the corresponding reconstruction formulae. As an illustrate examples of $N$-soliton formula, two kinds of one-soliton solutions and three kinds of two-soliton solutions are explicitly presented according to different distribution of the spectrum. The dynamical feature of those solutions are characterized in the particular case with a quartet of discrete eigenvalues. It is shown that distribution of the spectrum and non-vanishing boundary also affect feature of soliton solutions. Finally, we analyze the differences between our results and those on zero boundary case.

研究の動機と目的

• 非消滅境界条件を有する修正非線形シュレーディンガー方程式に対する逆散乱変換の構築。
• スペクトルパラメータ変換を扱い、ジョスト解を解析するための二枚のリーマン面に基づく行列RH問題の構築。
• 非ゼロ境界条件を有するmNLS方程式の明示的 $N$-ソリトン解の導出、特に異なるスペクトル配置を有する1および2ソリトン解の例示。
• 特に四重の離散固有値を有する場合のソリトン解のダイナミクス的特徴の同定。
• ゼロ境界条件の場合との比較を通じて、非ゼロ背景およびスペクトル分布に起因するソリトン行動の相違を強調すること。

提案手法

• 元のスペクトルパラメータ $k$ を一価関数パラメータ $z$ に写像する二枚のリーマン面を導入し、ジョスト解の解析接続を可能にする。
• 複素 $z$-平面上におけるジョスト解およびスペクトル行列の正則性、対称性、漸近的挙動を分析する。
• スペクトル曲線に沿ったジャンプ条件に基づく行列RH問題を定式化し、非ゼロ境界条件を組み込む。
• RH問題から再構成公式を導出し、スペクトルデータおよび位相関数を含む行列式で表される $N$-ソリトン解を得る。
• 離散固有値分布（例：四重固有値）および対応する留数データを指定することで、1ソリトンおよび2ソリトン解を明示的に構成する。
• 位相関数 $\theta(x,t,\zeta_j)$ とシータ条件を用いて解の整合性を保証し、ソリトンダイナミクスを制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間無限遠における非消滅境界条件を有する修正NLS方程式に対して、逆散乱変換をどのように一般化できるか？
• RQ2 二枚のリーマン面は、スペクトルパラメータの多価性をどのように解消し、適切に定義されたRH問題の構築を可能にするか？
• RQ3 異なる離散固有値の分布（例：四重対と二重対）が、$N$-ソリトン解の構造およびダイナミクスにどのように影響を与えるか？
• RQ4 非ゼロ境界条件は、ゼロ境界条件の場合と比較して、ソリトンの形状、安定性、伝搬特性にどのような影響を及えるか？
• RQ5 非ゼロ境界条件下でのmNLS方程式の $N$-ソリトン解の明示的形は何か？また、$u_\pm \to 0$ の極限で、既知のゼロ境界条件下の解にどのように帰着するか？

主な発見

• 非消滅境界条件を有するmNLS方程式に対して、行列RH問題が成功裏に定式化され、再構成公式を用いた $N$-ソリトン解の導出が可能になった。
• 2種類の異なるスペクトル配置に対して1ソリトン解が明示的に構成され、局在的で滑らかで、二峰性の波形を示し、振動的尾ていを有しない。
• 2ソリトン解は2通りのケースで導出された：1つは四重の離散固有値を有する場合で、滑らかな二峰性波形を示し、中間部に振動的領域と減衰する尾ていを有する。もう1つは $N_1=2, N_2=0$ の場合で、非ゼロ背景尾ていを有する波形を示す。
• 図10～13に示される波動伝搬パターンは、ソリトンが中間部で局所的に振動的であるが、ピーク部では滑らかであり、スペクトル対称性および境界条件に応じて顕著な異なる挙動を示すことを確認している。
• $u_\pm \to 0$ の極限において、導出された解は、ゼロ境界条件下での既知のmNLS方程式の $N$-ソリトン解に還元され、先行研究との整合性が裏付けられた。
• 離散固有値の分布および非ゼロ境界条件は、非ゼロ背景が尾ていに現れるかどうか、波形プロファイルの形状といったソリトンの特徴に顕著に影響を与える。