[論文レビュー] Riemann-Hilbert Problems with canonical normalization and families of commuting operators

Vladimir S. Gerdjikov|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2012

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 3被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、正規化された標準形をもつリーマン＝ヒルベルト問題（RHP）を用いて、可換な微分作用素の族を構成する新しい手法を提案する。ザハロフ＝シャバトの定理を活用し、1階および2階のジェット構造を分析することで、2+1次元空間時間における2次および3次非線形性を有する3波系を含む、新たな可積分非線形発展方程式（NLEEs）が導出され、スペクトル構造およびハミルトニアン構造を通じてその可積分性が示されている。

ABSTRACT

We start with a Riemann-Hilbert Problems (RHP) with canonical normalization whose sewing functions depends on several additional variables. Using Zakharov-Shabat theorem we are able to construct a family of ordinary differential operators for which the solution of the RHP is a common fundamental analytic solution. This family of operators obviously commute. Thus we are able to construct new classes of integrable nonlinear evolution equations.

研究の動機と目的

• Riemann-Hilbert問題に標準化された正規化を適用して、可換微分作用素の環を体系的に構成する手法を開発すること。
• リー代数的構造を用いて、既知の可積分系、特に3波系およびN波系を高次元空間時間へと拡張すること。
• 逆散乱変換の代替として、標準化された正規化をもつRHPを用いてスペクトル分解およびソリトン解を導出すること。
• 高階のジェットを用いて、2次、3次および微分非線形性を有する新たなタイプの可積分非線形発展方程式を探索すること。
• 共随伴軌道理論およびカク＝ムーディ代数を用いて、導出された方程式のハミルトニアン構造および可積分性を確立すること。

提案手法

• 標準化された正規化をもつリーマン＝ヒルベルト問題（RHP）を定式化し、解 ξ±(x,t,λ) が Im(λ^k) > 0 および < 0 の領域で λ に関して正則であり、無限遠点で正規化されていることを仮定する。
• 接続関数 G(x,t,λ) に補助変数の特定の依存性を課し、方程式 i∂G/∂x_s − λ^k[J_s, G] = 0 および i∂G/∂t − λ^k[K, G] = 0 を満たす。ここで J_s および K はカルタン部分代数に属する。
• ザハロフ＝シャバトの定理を適用し、RHPの解 ξ±(x,t,λ) が行列値ポテンシャル U_s および V をもつ線形微分作用素 L_s および M の共通の基本解析的解であることを示す。
• ξ±(x,t,λ) = exp(Q(x,t,λ)) の漸近展開から、k = 1 および k = 2 のジェットを構成し、それに対応する微分作用素を導出する。
• 得られた作用素 L_s、M、N（高階ジェットから得られる）の可換性を用いて、2次および3次非線形性を有する新たな可積分NLEEs、特に3波系を導出する。
• RHPに標準化された正規化を適用し、逆問題を完全に解くことなく、ドレッシング法を用いて明示的なNソリトン解を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準化された正規化をもつリーマン＝ヒルベルト問題は、どのように可換微分作用素の族を生成できるか？
• RQ2 RHP解の展開における1次および2次ジェットから、どのような新たな可積分非線形発展方程式（NLEEs）が導かれるか？
• RQ3 2+1次元空間時間において、2次、3次および微分非線形性を有する3波系およびN波系を構築し、その可積分性を示すことができるか？
• RQ4 これらの新しいNLEEsのスペクトル的性質およびハミルトニアン構造は、カク＝ムーディ代数の共随伴軌道とどのように関係するか？
• RQ5 標準化された正規化をもつRHPは、多変数NLEEsを解く際、逆散乱変換をどの程度置き換えたり補完したりできるか？

主な発見

• sl(3)に対する1次ジェットは、2+1次元空間時間における標準的な3波方程式を再現し、本手法が既知の可積分系と整合していることを確認する。
• 2次ジェットは、2+1次元時空において、混合された2次および3次非線形性に加え、x微分項を有する新たな可積分3波方程式を導く。
• 導出された方程式はハミルトニアン的であり、3次元空間時間への可積分拡張を許容することが示され、既存の結果を一般化する。
• 3つの可換作用素 L、M、N からなる系は、式(35)に示されるような、u1、u2、u3 が同時に進化する連立NLEEsを導く。ここで、特性速度および結合項が含まれる。
• より高いランクのリー代数、異なるグレーディング、および λ^k のより高いべき乗を選びることで、本手法は新たな可積分モデルを体系的に構成可能である。
• 標準化された正規化をもつRHPは、ザハロフ＝シャバトのドレッシング法を用いて、完全な逆問題を解くことなく、明示的なNソリトン解を構成可能である。