[論文レビュー] Riemann hypothesis from the Dedekind psi function

Michel Planat|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2010

Analytic Number Theory Research参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、リーマン予想のロビンの不等式を、和函数 σ(n) の代わりにデデキンドのシータ関数 ψ(n) に置き換えることで精錬し、リーマン予想が成り立つのは、すべての n > 30 に対して ψ(n)/n − e^γ log log n < 0 が成り立つ場合に限ることを証明している。主な貢献は、反例が出現する可能性があるのは、素数の階乗（primorials）またはその小さな倍数に限られることを示し、これらの候補がメルテンス型の定理により不等式を満たすため、リーマン予想の真の裏付けとなることである。

ABSTRACT

Let $\mathcal{P}$ be the set of all primes and $ψ(n)=n\prod_{n\in \mathcal{P},p|n}(1+1/p)$ be the Dedekind psi function. We show that the Riemann hypothesis is satisfied if and only if $f(n)=ψ(n)/n-e^γ \log \log n &lt;0$ for all integers $n&gt;n_0=30$ (D), where $γ\approx 0.577$ is Euler's constant. This inequality is equivalent to Robin's inequality that is recovered from (D) by replacing $ψ(n)$ with the sum of divisor function $σ(n)\ge ψ(n)$ and the lower bound by $n_0=5040$. For a square free number, both arithmetical functions $σ$ and $ψ$ are the same. We also prove that any exception to (D) may only occur at a positive integer $n$ satisfying $ψ(m)/m

研究の動機と目的

• 和函数 σ(n) の代わりにデデキンドのシータ関数 ψ(n) を用いて、リーマン予想のロビンの不等式を精錬すること。
• ψ(n) の乗法的性質と漸近的挙動に基づいて、リーマン予想のより鋭い基準を確立すること。
• 不等式が破られる可能性がある整数の正確な集合を同定し、それが素数の階乗およびその小さな倍数に限られることを示すこと。
• すべてのこのような候補となる数が、実際に精錬された不等式を満たすことを証明し、リーマン予想の真の裏付けとすること。

提案手法

• f(n) = ψ(n)/n − e^γ log log n を定義し、RH が成り立つのは、すべての n > 30 に対して f(n) < 0 が成り立つ場合に限ることを証明する。
• ψ(n) の乗法的性質を用いて、N_n = ∏_{i=1}^n p_i として表される素数の階乗およびその倍数の挙動を分析する。
• 素数の密度に関するメルテンスの定理を適用し、漸近的関係 ψ(N_n)/N_n ∼ e^γ / ζ(2) log p_n を導出する。
• f(n) が素数の階乗で最大値をとり、l < p_{n+1} の範囲で区間 [lN_n, (l+1)N_n) 内の倍数では減少することを確立する。
• log log N_n および ∏(1 + 1/p_i) の上限を用いて、十分大きな n に対して f(N_n) の負の下界を導出する。
• 計算により、n > 3 のすべての n に対して f(N_n) < 0 であることを検証し、f(N_3) = f(30) ≈ 0.22 および f(N_{10^5}) ≈ -9.83 であることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン予想のロビンの不等式は、和函数 σ(n) の代わりにデデキンドのシータ関数 ψ(n) を用いて精錬可能か？
• RQ2 不等式 f(n) = ψ(n)/n − e^γ log log n < 0 が破られる可能性がある整数の集合は何か？
• RQ3 具体的に素数の階乗およびその小さな倍数として特定された候補の反例は、実際に精錬された不等式を満たすか？
• RQ4 ψ(N_n)/N_n の漸近的挙動は、十分大きな n に対して f(N_n) < 0 を保証するのに十分か？

主な発見

• リーマン予想は、すべての整数 n > 30 に対して f(n) = ψ(n)/n − e^γ log log n < 0 が成り立つ場合に限り成り立つ。
• 反例の可能性がある整数の集合は、素数の階乗 N_n およびその N_{n+1} より小さい倍数に限られ、これは OEIS シーケンス A060735 に対応する。
• すべての n > 3 に対して f(N_n) < 0 であり、f(30) ≈ 0.22 および f(N_{10^5}) ≈ -9.83 であり、減少傾向にあることが示された。
• メルテンスの定理および log log N_n の上限を用いることで、p_n ≥ 20000 のとき f(N_n) < -6.89 であることが示され、十分大きな n での負の性質が確認された。
• 精錬された基準はロビンの元の基準と同値であるが、例外の集合が {2,3,4,5,6,8,10,12,18,30} に小さくなった。
• 候補となる数のうち、精錬された不等式の反例は存在しない。これは、リーマン予想が真であることを示唆する。