[論文レビュー] Riemann maps in almost complex manifolds

Bernard Coupet, Hervé Gaussier+1 more|ArXiv.org|Jul 25, 2003

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 23被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、標準的複素構造の小さなほぼ複素構造への変形に対して、単位球体内に定常的円板が存在することを確立し、ほぼ複素多様体におけるリーマン写像の局所類似物を導入し、その正則性、葉に沿った正則性、および（擬）正則写像と可換性を証明する。主な貢献は、微分同相写像の境界正則性基準を、フェッファーマンの定理を一般化することで、定常的円板と正則不変性を用いて局所同値問題を解けるようにしたことである。

ABSTRACT

We prove the existence of stationary discs in the ball for small almost complex deformations of the standard structure. We define a local analogue of the Riemann map and establish its main properties. These constructions are applied to study the local geometry of almost complex manifolds and their morphisms.

研究の動機と目的

• 可積分な複素幾何学におけるレンプトのリーマン写像および定常的円板の理論を、ほぼ複素多様体の設定に拡張すること。
• 標準的複素構造の小さなほぼ複素構造への変形に対して、単位球体内に定常的円板が存在することを確立すること。
• 局所リーマン写像類似物を定義し、その基本的性質（正則性、葉に沿った正則性、および（擬）正則写像との適合性）を証明すること。
• 厳密擬凸なほぼ複素領域間の $ C^{\frown} $-正則性のための基準を提供し、フェッファーマンの定理を一般化すること。
• リーマン写像構成を用いて、ほぼ複素構造の局所正則同値問題を解くこと。

提案手法

• 標準的ほぼ複素構造 $ J_0 $ の小さな $ C^2 $-変形に対して、摂動法と陰関数定理を用いて、単位球 $ \mathbb{B}_n $ 内に定常的円板を構成する。
• 指示子（indicatrix）に基づいて、ほぼ複素構造の類似物を用い、単位球から領域 $ \Omega^\lambda $ への $ J $-正則微分同相写像 $ \Psi_{T_\lambda, v^0} $ として局所リーマン写像を定義する。
• リーマン写像が $ C^\infty $-滑らかであり、定常的円板がなすfoliationに沿って正則であり、かつ（擬）正則写像と可換であることを証明する。
• 境界正則性問題に理論を適用する： $ C^1 $-微分同相写像 $ \phi: \bar{D} \to \bar{D}' $ が $ C^\infty $-滑らかであるための必要十分条件は、$ \phi^*(J) $ が $ C^\infty $-滑らかであり、かつ $ (D', \phi^*(J)) $ が厳密擬凸であることである。
• リーマン写像を用いて局所同値問題を解く：2つのほぼ複素構造が局所的に正則同値であるための必要十分条件は、それらに対応するリーマン写像が、指示子を互いに写像する $ J_0 $-線形同型写像を誘導することである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的複素構造の小さなほぼ複素構造への変形に対して、単位球体内に定常的円板を構成できるか？
• RQ2 ほぼ複素幾何学において、リーマン写像の局所類似物は存在するか？ その正則性および変換性は何か？
• RQ3 厳密擬凸なほぼ複素領域間の $ C^1 $-微分同相写像に対して、フェッファーマンの定理を一般化した境界正則性基準は存在するか？
• RQ4 リーマン写像構成を用いて、ほぼ複素構造の局所正則同値問題を解けるか？
• RQ5 リーマン写像と、指示子およびそれらの背後にあるほぼ複素構造の幾何学的性質との関係は何か？

主な発見

• 標準的ほぼ複素構造 $ J_0 $ の小さな $ C^2 $-変形に対して、単位球体内に定常的円板が存在し、それらは球体を特異的foliationで覆う。
• 局所リーマン写像は $ C^\infty $-滑らかであり、foliationに沿って正則であり、かつ（擬）正則写像と可換である。
• 厳密擬凸なほぼ複素領域間の $ C^1 $-微分同相写像 $ \phi: \bar{D} \to \bar{D}' $ が $ C^\infty $-滑らかであるための必要十分条件は、引き戻し構造 $ \phi^*(J) $ が $ C^\infty $-滑らかであり、かつ $ (D', \phi^*(J)) $ が依然として厳密擬凸であることである。
• 局所正則同値問題は解かれた：2つのほぼ複素構造が局所的に同値であるための必要十分条件は、それらのリーマン写像が、指示子を互いに写像する $ J_0 $-線形同型写像を誘導することである。
• リーマン写像は、ほぼ複素構造の完全な局所不変量を提供し、自己同型群のパラメトライゼーションおよびリーマン写像の変換性を用いた同値問題の解法を可能にする。