[論文レビュー] Riemann-Roch For Equivariant K-Theory

Amalendu Krishna|ArXiv.org|Jun 9, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、線形代数的群の作用をもつ滑らかな多様体に対して、完備化された等変K理論から有理係数をもつ完備化された等変高次チャウ群へのチャーン類写像を構成することにより、等変リーマン・ロッホ同型を確立する。主な結果は同型 $̂{K^{G}_{i}(X)} \xrightarrow{\u0302{\tau}^{G}_{X}} \u0302{CH^{*}_{G}(X,i)}$ であり、表現論的障害によって、素朴な等変K理論とチャウ群が一致しないという複雑さを解消する。

ABSTRACT

The goal of this paper is to prove the Riemann-Roch isomorphism for the higher equivariant K-theory of varieties with action of a linear algebraic group.

研究の動機と目的

• 滑らかな多様体に線形代数的群の作用をもつ場合のブロッホの非等変リーマン・ロッホ同型を等変設定に拡張すること。
• 代表論的階数の不一致（例：$K^G_0(k)_{\mathbb{Q}}$ は位数 $m$ の有限群 $G$ に対して階数 $m$、一方 $CH^*_G(k,0)_{\mathbb{Q}}$ は階数 1）により失敗する素朴な等変リーマン・ロッホ写像の障害を解消すること。
• $R(G)$ と $S(G)$ の増幅イデアル $I_G$ と $J_G$ に関する完備化が、リーマン・ロッホ同型を回復させるために必要な最小の摂動を提供することを示すこと。
• 有理係数をもつ一般化されたチャーン類同型 $K^G_i(X) \otimes_{R(G)} \widehat{R(G)} \xrightarrow{ch} CH^*_G(X,i) \otimes_{S(G)} \widehat{S(G)}$ を確立することにより、エディジン＝グレアムの $G_0$ 階層での結果を一般化すること。

提案手法

• 表現環 $R(G)$ の $I_G$-adic 完備化 $\widehat{R(G)}$ と、等変チャウ環 $S(G) = CH^*_G(k,0)$ の $J_G$-adic 完備化 $\widehat{S(G)}$ を定義する。
• 増幅による階数の不一致を解消するために、完備化を用いた有理係数をもつチャーン類写像 $ch: K^G_i(X) \otimes_{R(G)} \widehat{R(G)} \to CH^*_G(X,i) \otimes_{S(G)} \widehat{S(G)}$ を構成する。
• 自由 $G$-作用をもつ $G$-等変解体 $X' \to X$ を構成し、商 $X'_G$ に対してブロッホのリーマン・ロッホ定理を適用することにより、非等変ケースに還元することで、この写像が同型であることを証明する。
• $G$-等変写像において、$K$-理論とチャウ群上の引き戻しおよび押し出し写像が $R(G)$-線形であり、かつ固有写像に対して投影公式が成り立つことを利用する。
• $X'$ と $X$ を含む可換図式を適用し、完成写像の全射性と非等変ケースでの同型性を用いて、等変リーマン・ロッホ写像 $\tau^G_X$ の全射性を示す。
• 再帰的群 $G$ と最大トーラス $T$ に対して、$K^G_i(X) \otimes_{R(G)} \widehat{R(T)} \xrightarrow{\eta^G_T} K^T_i(X) \otimes_{R(T)} \widehat{R(T)}$ が同型であることを示すことで、メルクルジェフの結果の一般化を証明する。この際、完成化された $K$-理論とチャウ群の同型性を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代表論的階数の不一致により素朴な等変リーマン・ロッホ写像が失敗するにもかかわらず、等変 $K$-理論と等変高次チャウ群の間でリーマン・ロッホ同型を確立できるか。
• RQ2 $K^G_i(X) \otimes_{R(G)} \widehat{R(G)}$ の $I_G$-adic 完備化が、$CH^*_G(X,i) \otimes_{S(G)} \widehat{S(G)}$ との同型を回復させるために必要な最小の摂動であるか。
• RQ3 完成化された等変 $K$-理論から完成化された等変高次チャウ群へのチャーン類写像が存在し、有理係数をもつ同型であるか。
• RQ4 リーマン・ロッホ同型は $G_0$ を超える高次の $K$-群へ拡張可能か。また、任意の再帰的群に対しても成り立つか。
• RQ5 滑らかさの仮定がなくても、安定化部分群が有限のとき、再帰的群 $G$ の最大トーラス $T$ に対して、$K^G_i(X)$ と $K^T_i(X)$ の間で完成化誘導同型が存在するか。

主な発見

• 有理係数をもつチャーン類写像 $K^G_i(X) \otimes_{R(G)} \widehat{R(G)} \xrightarrow{ch} CH^*_G(X,i) \otimes_{S(G)} \widehat{S(G)}$ は同型であり、素朴な写像における階数の不一致を解消する。
• 滑らかな多様体に線形代数的群の作用をもつ場合、リーマン・ロッホ同型 $\u0302{K^G_i(X)} \xrightarrow{\u0302{\tau}^G_X} \u0302{CH^{*}_{G}(X,i)}$ が成り立つ。これはエディジン＝グレアムの $G_0$ 階層での結果を一般化する。
• 増幅イデアル $I_G$ と $J_G$ に関する完備化は本質的である。$G$ が有限のとき $K^G_0(k)_{\mathbb{Q}}$ と $CH^*_G(k,0)_{\mathbb{Q}}$ の階数の不一致により、完成化なしでは同型は成立しない。
• 自由 $G$-作用をもつ $G$-等変解体 $X' \to X$ を用い、$X'_G$ が準射影的でブロッホの定理が適用可能であることに基づき、非等変ケースに還元することで同型を証明する。
• 任意の連結なスプリット再帰的群 $G$ と最大トーラス $T$ に対して、$X$ が特異であっても $G$-作用の安定化部分群が有限のとき、写像 $\eta^G_T: K^G_i(X) \otimes_{R(G)} \widehat{R(T)} \to K^T_i(X) \otimes_{R(T)} \widehat{R(T)}$ は同型である。
• 定理 3.8 を用いて、同型 $CH^*_G(X,i) \otimes_{S(G)} \widehat{S(T)} \cong CH^*_T(X,i) \otimes_{S(T)} \widehat{S(T)}$ が成り立つ。これは、トーラス比較結果を証明する上で鍵となる。