[論文レビュー] Riemann-Roch-Hirzebruch theorem and Topological Quantum Mechanics

Boris Feigin, A. Losev+1 more|ArXiv.org|Jan 28, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、複素多様体上の正則微分作用素のdg代数の完備化 Hochschildおよび循環ホモロジーを用いて、トポロジカルな量子力学に基づく Riemann-Roch-Hirzebruch (RRH) 定理の新しい導出を提示する。テンソル積への完備化手続きと Massey 操作を導入することで、微分作用素のスーパー跡が完備化された循環ホモロジーにおける高次跡関数として生じることを示し、RRH 公式における積分がコホモロジー類上の高次跡関数の一部として自然に現れることを明らかにする。

ABSTRACT

In the present paper we discuss an independent on the Grothendieck-Sato isomorphism approach to the Riemann-Roch-Hirzebruch formula for an arbitrary differential operator. Instead of the Grothendieck-Sato isomorphism, we use the Topological Quantum Mechanics (more or less equivalent to the well-known constructions with the Massey operations from [KS], [P], [Me]). The statement that the Massey operations can "produce" the integral in some set-up, has an independent from the RRH theorem interest. We finish the paper by some open questions arising when the main construction is applied to the cyclic homology (instead of the Hochschild homology).

研究の動機と目的

• Grothendieck-Sato 同型を避けることで、Riemann-Roch-Hirzebruch 公式の代替的導出を提供すること。
• トポロジカルな量子力学と Massey 操作を通じて、RRH 定理における積分の物理的および代数的解釈を確立すること。
• 完備化手続きによる Hochschildおよび循環ホモロジーの再定義を通じて、微分作用素上の跡構造を一般化すること。
• 完備化された循環ホモロジーにおける高次跡の役割と、特徴類およびオイラー標数との関係を調査すること。
• 微分作用素の dg 代数の循環ホモロジーの構造を調査し、高次元での循環ホモロジーへのその影響を明らかにすること。

提案手法

• 正則ベクトル bundle 上のグローバルな正則微分作用素代数上の跡として微分作用素のスーパー跡を定義する。
• Dolbeault 解体における微分作用素層の dg 代数構造 $\operatorname{Dif}^{\bullet}(\mathcal{E})$ を構成する。
• Hochschildホモロジーの計算可能性を高めるために、$\widehat{\operatorname{Dif}^{\bullet}(\mathcal{E})^{\otimes k}}$ のテンソル積の完備化を導入する。
• completed Hochschildホモロジー $\widehat{\mathrm{HH}}_{-k}(\operatorname{Dif}^{\bullet}(\mathcal{E}))$ が $\mathrm{H}^{2n-k}(X,\mathbb{C})$ に同型であることを証明する。ここで $n = \dim_{\mathbb{C}}(X)$ である。
• 完備化された循環複体 $\widehat{\operatorname{Cycl}}_{\bullet}(\operatorname{Dif}^{\bullet}(\mathcal{E}))$ を定義し、そのコホモロジーを $X$ の偶数次元コホモロジー群の直和として計算する。
• 完備化された循環ホモロジー上の高次跡関数 $\Upsilon_{2i}$ を構成し、$\Upsilon_{2i}$ が循環サイクル上の跡公式を通じて $\mathbb{C}$ に写像することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Grothendieck-Sato 同型に依存せずに、Riemann-Roch-Hirzebruch 公式を導出可能か？
• RQ2 Massey 操作とトポロジカルな量子力学は、RRH 定理における積分をどのように自然に符号化するか？
• RQ3 完備化された Hochschildおよび循環ホモロジーは、スーパー跡を高次跡関数として実現するために果たす役割は何か？
• RQ4 $\mathrm{H}^{2n-2}(X) \oplus \mathrm{H}^{2n}(X)$ 上の高次跡 $\Im_{-2}$ の成分 $\Im_{-2}^{2n}$ は、定数倍を除いて積分関数に等しいか？
• RQ5 写像 $\Im_{-2}^{2n-2} : \mathrm{H}^{2n-2}(X) \to \mathbb{C}$ の幾何的意味は何か？ これは消えるか、特徴類に関係するか？

主な発見

• 完備化された Hochschildホモロジー $\widehat{\mathrm{HH}}_{-k}(\operatorname{Dif}^{\bullet}(\mathcal{E}))$ は $\mathrm{H}^{2n-k}(X,\mathbb{C})$ に同型であり、微分作用素の dg 代数のホモロジーのトポロジカルな解釈を提供する。
• 完備化された循環ホモロジー $\mathbb{H}^{-i}(\widehat{\operatorname{Cycl}}_{\bullet}(\operatorname{Dif}^{\bullet}(\mathcal{E})))$ は直和 $\bigoplus_{j \geq 0} \mathrm{H}^{2n-i+2j}(X)$ に同型であり、高次跡の豊かな構造を明らかにする。
• スーパー跡 $\operatorname{str}(\mathcal{D})$ は、完備化された循環ホモロジー上の高次跡関数 $\Upsilon_{2i}$ として実現され、次数 $-2$ の成分 $\Upsilon_2$ は3つの作用素の循環積の跡を捉えている。
• 成分 $\Im_{-2}^{2n} : \mathrm{H}^{2n}(X) \to \mathbb{C}$ は、積分関数に比例すると予想され、$[\operatorname{Id} \otimes \operatorname{Id} \otimes \operatorname{Id}]$ が $\mathrm{ch}(E) \cdot \mathrm{Td}(T_X)$ の次数 $2n-2$ 成分に写像されることから、その根拠が得られている。
• $\Im_{-2}^{2n-2} : \mathrm{H}^{2n-2}(X) \to \mathbb{C}$ は一般に消えない。サイクル $[\mathcal{D}_1 \otimes \mathcal{D}_2 \otimes \mathcal{D}_3]$ 上での値は、巡回和 $\sum_{\sigma \in \Sigma_3} (-1)^{\natural(\sigma)} \mathcal{D}_{\sigma(1)} \circ \mathcal{D}_{\sigma(2)} \mathcal{D}_{\sigma(3)}$ のスーパー跡に等しい。
• $\Im_{-2}^{2n-2}([\operatorname{Id} \otimes \operatorname{Id} \otimes \operatorname{Id}])$ の値は、$\mathrm{Td}(T_X) \cdot \mathrm{ch}(E)$ の次数 $2n-2$ 部分に等しく、もし $\Im_{-2}^{2n}$ が積分関数であれば、RRH 定理によりこれが消えるはずであり、これは深い一貫性条件を示唆している。