[論文レビュー] Riemann-Roch isometries in the non-compact orbifold setting

Gerard Freixas i Montplet, Anna von Pippich|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、尖点および楕円型点における特異なPoincaré計量をもつ非コンパクトな軌道曲線上の自明な層に対して、リーマン–ロッホ等長性を確立する。これは、Deligne よりも、および Gillet–Soulé の研究を、尖点および楕円型点における特異計量へと拡張するものである。Mayer–Vietoris 技法とモデル尖点および錐体におけるスペクトル計算を用いて、算術的リーマン–ロッホ公式を導出し、その結果、Dirichlet L-関数の対数微分を用いて $ Z'(1, \mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z})) $ の特別値を評価する。

ABSTRACT

We generalize work of Deligne and Gillet-Soulé on a Riemann-Roch type isometry, to the case of the trivial sheaf on cusp compactifications of Riemann surfaces $Γ\backslash\mathbb{H}$, for $Γ\subset PSL_{2}(\mathbb{R})$ a fuchsian group of the first kind, equipped with the Poincaré metric. This metric is singular at cusps and elliptic fixed points, and the results of Deligne and Gillet-Soulé do not apply to this setting. Our theorem relates the determinant of cohomology of the trivial sheaf, with an explicit Quillen type metric in terms of the Selberg zeta function of $Γ$, to a metrized version of the $ψ$ line bundle of the theory of moduli spaces of pointed orbicurves, and the self-intersection bundle of a suitable twist of the canonical sheaf $ω_{X}$. We make use of surgery techniques through Mayer-Vietoris formulae for determinants of laplacians, in order to reduce to explicit evaluations of such for model hyperbolic cusps and cones. We derive an arithmetic Riemann-Roch formula, that applies in particular to integral models of modular curves with elliptic fixed points. As an application, we treat in detail the case of the modular curve $X(1)$. From this, we obtain the Selberg zeta special value $Z^{\prime}(1,PSL_{2}(\mathbb{Z}))$ in terms of logarithmic derivatives of Dirichlet $L$ functions. Our work finds its place in the program initiated by Burgos-Kramer-Kühn of extending arithmetic intersection theory to singular hermitian vector bundles.

研究の動機と目的

• 尖点および楕円型点における特異なPoincaré計量をもつ非コンパクトな軌道曲線の設定において、リーマン–ロッホ等長性を一般化すること。
• 計量が滑らかでない場合、特に楕円型固定点をもつモジュラー曲線上の自明な層に対して、算術的リーマン–ロッホ定理を拡張すること。
• 双曲的尖点および錐体におけるラプラシアンの行列式の厳密なスペクトル計算を提供し、理論物理学における欠落を埋める。
• $ Z'(1, \mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z})) $ の特別値を計算し、Dirichlet L-関数の観点から長年の未解決問題を解消すること。

提案手法

• ラプラシアンの行列式のための手術技法とMayer–Vietoris公式を用い、大域的計算を、双曲的尖点および錐体という局所的モデル幾何に還元する。
• Bost の $ L^1 $-形式的体系とSelberg zeta関数を用いたQuillen型計量を適用し、コhomologyの行列式を定義する。
• モデル尖点および錐体幾何における明示的スペクトル計算を実行し、物理学的計算における不完全な部分を埋める厳密な手法を提供する。
• Selbergの跡公式による正則化行列式を用いて、非コンパクトおよび特異な設定を扱う。
• 算術的交線理論とスペクトルデータ（メトライズド $ \psi $-ラインバンドルおよび標準バンドルの自己交線）を組み合わせることで、算術的リーマン–ロッホ公式を導出する。
• Chowla–Selbergの公式とFaltings高さの計算を用い、特別値を L-関数と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 尖点および楕円型点における特異なPoincaré計量をもつ非コンパクトな軌道曲線に対して、リーマン–ロッホ等長性を拡張することは可能か？
• RQ2 楕円型固定点をもつモジュラー曲線の文脈において、メトライズド $ \psi $-ラインバンドルの算術的意味は何か？
• RQ3 特異計量が存在する状況において、自明な層のコhomologyの行列式はどのように計算され、Selberg zeta関数と関係するか？
• RQ4 $ Z'(1, \mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z})) $ の値は何か？ また、Dirichlet指標の L-関数とどのように関係するか？
• RQ5 本稿で用いられたスペクトル法は、尖点における有限モノドロミーをもつ平坦ユニタリバンドルへ一般化可能か？

主な発見

• 本稿は、$ Z'(1, \mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z})) $ をDirichlet L-関数の対数微分の組み合わせとして計算し、$ \mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z}) $ のSelberg zeta関数の解析的類数公式を提供する。
• 自明な層に対して、$ X(1) $ 上で算術的リーマン–ロッホ公式を確立し、メトライズド $ \psi $-ラインバンドルおよび標準バンドルの自己交線を含む、明示的な算術的次数を伴う。
• $ \psi_{i,W} $ の算術的次数は $ 4h_F(E_i) - 2(\sigma_i, \sigma_\rho)_{\text{fin}} + 2\log(4\pi) $ であり、$ \psi_{\rho,W} $ の算術的次数は $ 6h_F(E_\rho) - (\sigma_i, \sigma_\rho)_{\text{fin}} + 3\log(4\pi) $ である。ここで $ h_F $ はFaltings高さを表す。
• $ \omega_{\mathbb{P}^1_{\mathbb{Z}}/\mathbb{Z}}(D)_{\text{hyp}} $ の自己交線数は、Petersson計量およびBost–Kühnの結果を用いて $ -\frac{1}{3}\left(\frac{\zeta'(-1)}{\zeta(-1)} + \frac{1}{2}\right) + \frac{1}{3}\log(2\pi) + \frac{1}{6}\log 2 $ に計算される。
• $ \mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z})\backslash\mathbb{H} $ 上の定数切断 1 の $ L^2 $-ノルムは $ \|1\|_{L^2}^2 = \frac{1}{6} $ であり、算術的リーマン–ロッホ公式において $ -12\log\|1\|_{L^2} = 6\log 2 + 6\log 3 $ が得られる。
• Quillen計量における定数 $ C(\mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z})) $ はChowla–Selbergの公式により計算され、ガンマ関数の値が $ \zeta'(-1)/\zeta(-1) $ および L-関数の微分と関連づけられる。