[論文レビュー] Riemann-Roch theorems via deformation quantization

Paul Bressler, Ryszard Nest+1 more|ArXiv.org|May 13, 1997

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、シンプレクティック多様体上の関数の変形量子化代数の完全複体に対して、変形量子化、ホッフシャイルド同調およびサイクル同調、そしてデニストレースおよびグッドウィル・ジョーンズ写像を用いて、リーマン・ロッホ定理を確立する。主な結果は、オイラー類がチャーン類、$\hat{A}$-類、および変形の特徴類の積として表される公式であり、シュピーアとシュナイダースの予想を証明する。

ABSTRACT

We give a proof of a conjecture of P. Schapira and J.-P. Schneiders on the characteristic classes of D-modules.

研究の動機と目的

• シンプレクティック多様体上の関数の変形量子化代数の完全複体に対して、リーマン・ロッホ定理を確立すること。
• シュピーアとシュナイダースの予想（定理2.2.2）を証明すること。この予想は、完全複体のオイラー類がそのチャーン類、$\hat{A}$-類、および変形の特徴類に関連することを示す。
• デニストレースおよびグッドウィル・ジョーンズ写像の層化を用いて、サイト上の代数層のための局所的チャーン類を構成すること。
• 周期的サイクルコhomologyおよびフェドソフ接続を用いて、ワイル代数に関して、グローバルなリーマン・ロッホ定理を局所的命題に還元すること。

提案手法

• 代数層上の完全複体のオイラー類およびチャーン類を定義するために、デニストレース写像およびグッドウィル・ジョーンズ写像の層化を用いる。
• 完全複体のオイラー類に関するグローバルなリーマン・ロッホ定理を、シンプレクティック多様体上の関数の変形代数の周期的サイクルチェインに関するリーマン・ロッホ定理に還元する。
• ワイル代数の周期的サイクルチェインに関する局所的リーマン・ロッホ定理（[NT1]、[NT2] で確立され、[FT2] のアイデアに基づく）を適用する。
• ゲルファンド＝フクス写像を用いて、シンプレクティックベクトル空間の形式的近傍上のコホモロジー類と、全多様体上のコホモロジー類を関連させ、定理7.6.1を定理6.1.1に結びつける。
• リー代数のコホモロジー類のチャーン＝ヴェイユ構成および周期的サイクルコチェインの非可換微分計算を用いて、局所的結果を証明する。
• ゲルファンド＝フクス写像を用いて、微分形式の複体と平坦接続の核複体との間の同型を確立し、コチェインの転送を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変形量子化代数上の完全複体のオイラー類は、どのように位相的および特徴的不変量の言語で表現できるか？
• RQ2 変形量子化を用いて、シュピーアとシュナイダースの予想（オイラー類がチャーン類、$\hat{A}$-類、および変形類に関連すること）を証明できるか？
• RQ3 周期的サイクルコhomologyは、ワイル代数の局所的リーマン・ロッホ定理を定式化するために果たす役割は何か？
• RQ4 ゲルファンド＝フクス写像は、シンプレクティックベクトル空間の形式的近傍上のコホモロジー類と、全多様体上のコホモロジー類をどのように関連付けるか？
• RQ5 特徴的コチェインの像は、周期的サイクル複体間の準同型として、どのように正確に記述できるか？

主な発見

• 本稿は、シュピーアとシュナイダースの定理2.2.2を証明し、変形量子化代数上の完全複体のオイラー類に関するリーマン・ロッホ公式を確立する。
• オイラー類は、シンボル複体のチャーン類、多様体の$\hat{A}$-類、および変形量子化の特徴類の積として表される。
• ワイル代数の局所的リーマン・ロッホ定理（定理6.1.1）は、ゲルファンド＝フクス写像を用いて確立され、形式的近傍上のコホモロジー類と全多様体上のコホモロジー類を関連付ける。
• コチェイン $\tilde{\mu}^{\hbar} \smile \iota - \tilde{\mu} \smile \widehat{A} \smile e^{\theta} \smile \sigma$ のゲルファンド＝フクス写像による像は、準同型 $\iota \circ \tilde{\mu}^{\hbar}_{\mathbb{A}} - (\tilde{\mu}_{\mathcal{O}} \widehat{A} \smile e^{\theta}) \circ \sigma$ に一致し、特徴類の一貫性が確認される。
• 変形量子化の特徴類 $\theta$ は、ゲルファンド＝フクス写像によるリー代数コホモロジー類の像として実現され、フェドソフ接続の曲率と関連づけられる。
• $\widehat{A}$-類は、ゲルファンド＝フクス写像によるチャーン＝ヴェイユ準同型の像として回復され、その幾何的起源が確認される。