[論文レビュー] Riemannian cubics on the group of diffeomorphisms and the Fisher-Rao metric

Rabah Tahraoui, François‐Xavier Vialard|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2016

Advanced Differential Geometry Research参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、[0,1] 上の微分同相群に右不変な2次ソボレフノルムを備えた計量を備えた、最小加速度を示すリーマン多様体の立方曲線（Riemannian cubics）を研究する。加速度関数の緩和を計算することで、著者たちは欠損測度の中心的役割を果たすフィッシャー＝ラオ関数を特定し、最小化子の存在を証明するとともに、リッカティ方程式を用いた十分な最適性条件を導出することで、無限次元設定における存在性および正則性の問題を解決する。

ABSTRACT

We study a second-order variational problem on the group of diffeomorphisms of the interval [0, 1] endowed with a right-invariant Sobolev metric of order 2, which consists in the minimization of the acceleration. We compute the relaxation of the problem which involves the so-called Fisher-Rao functional a convex functional on the space of measures. This relaxation enables the derivation of several optimality conditions and, in particular, a sufficient condition which guarantees that a given path of the initial problem is also a minimizer of the relaxed one. This sufficient condition is related to the existence of a solution to a Riccati equation involving the path acceleration.

研究の動機と目的

• 無限次元の微分同相群 Diff₀²([0,1]) に右不変な2次ソボレフ計量を備えたリーマン多様体の立方曲線の存在性および正則性を確立すること。
• 特に医療画像処理や形状解析の文脈において、無限次元リーマン幾何学における高次元変分問題に対する存在結果の欠如に対処すること。
• 欠損測度を含む、フィッシャー＝ラオ関数を介して加速度関数を緩和することにより、弱収束性と最小化子の存在を可能にする。
• 元の問題における経路が緩和された関数を最小化するための十分な最適性条件を、経路の加速度を含むリッカティ方程式の解を用いて導出すること。

提案手法

• 著者たちは、滑らかな端点からの正則性を保証するために、ラグランジュ座標を用いて、Diff₀²([0,1]) 上の右不変計量の測地線方程式を再定式化する。
• ハミルトニアン形式を適用し、微分同相群における加速度関数の2階力学を導出する。
• 弱収束を用いて加速度関数の緩和を計算し、測度空間上の凸関数としてフィッシャー＝ラオ関数が現れる。
• 2階微分の弱収束から生じる欠損測度が、緩和問題における寄与をフィッシャー＝ラオ関数が定量化する。
• 凸解析を用いて標準的な最適性条件および欠損測度変数における弱い強い凸性の結果を導出する。
• 経路の加速度とリッカティ方程式を結びつけることで、十分な最適性条件を導出し、この方程式の解が緩和問題の最小化子をもたらすことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限次元設定下で、[0,1] 上の微分同相群に右不変な2次ソボレフ計量を備えたリーマン多様体の立方曲線問題に対して、最小化子が存在するか？
• RQ2 強いコンパクト性が欠如する状況において、弱収束性と最小化子の存在を可能にするために、加速度関数をどのように緩和できるか？
• RQ3 弱収束する2階微分の極限から生じる欠損測度を特徴付ける際、フィッシャー＝ラオ関数はどのような役割を果たすか？
• RQ4 元のハミルトニアン系の解が、緩和された関数の最小化子であるための条件は何か？
• RQ5 経路の加速度を含むリッカティ方程式は、緩和問題における最適性の十分条件として機能できるか？

主な発見

• 加速度関数の緩和は、弱収束する2階微分から生じる欠損測度に対する凸ペナルティとしてのフィッシャー＝ラオ関数を含む新たな定式化をもたらす。
• 最小化子の存在は、経路と欠損測度の積空間において保証され、無限次元設定における存在問題が解決される。
• 十分な最適性条件が導出された：もし経路がその加速度を含むリッカティ方程式を満たすならば、それは緩和された関数を最小化する。
• 著者たちは、元の関数の臨界点ではあるが緩和された関数の最小化子でない例を明示的に構成し、緩和アプローチの必要性を示した。
• 問題は欠損測度変数において弱い強い凸性を示し、緩和定式化における最小化子の一意性が保証される。
• 本稿では、ラグランジュ座標における測地線の正則性を簡単な証明で示し、端点の滑らかさが測地線の滑らかさをもたらすことを示した。