[論文レビュー] Riemannian foliations of projective space admitting complex leaves

Thomas Murphy|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、複素射影空間 ℙⁿ の複素葉を持つリーマン的フォリエーションを調査し、ℙⁿ の任意の開部分集合において、余次元1の複素リーマンフォリエーションが存在しないことを証明する。また、最大次元のリーマンフォリエーションにおいて、複素部分多様体が特異葉として現れるのは、特定の幾何的条件下でのみ可能であり、それが完全測地的 ℙᵏ または複素二次曲面 Qⁿ⁻¹ に等長である場合に限ることを示している。この分析には、チューブ近傍の解析と曲率の発散に関する議論が用いられる。

ABSTRACT

Motivated by Gray's work on tube formulae for complex submanifolds of complex projective space equipped with the Fubini-Study metric, Riemannian foliations of projective space are studied. We prove that there are no complex Riemannian foliations of any open subset of $\mathbb{P}^n$ of codimension one. As a consequence there is no Riemannian foliation of the projective plane by Riemann surfaces, even locally. We determine how a complex submanifold may arise as an exceptional leaf of a non-trivial singular Riemannian foliation of maximal dimension. Gray's tube formula is applied to obtain a volume bound for certain holomorphic curves of complex quadrics.

研究の動機と目的

• ℙⁿ の特異リーマンフォリエーションで複素葉をもつものを分類すること。
• ℙⁿ のホロモルフィックフォリエーションが開部分集合上でリーマン的である可能性を特定すること。
• 複素部分多様体が、ℙⁿ の最大次元リーマンフォリエーションの特異葉として現れる条件を同定すること。
• グレイのチューブ近傍公式を用いて、複素二次曲面内のホロモルフィック曲線の体積の上限を導出すること。

提案手法

• 葉に直交する測地線に沿ったジャコビ場の解析を用いて、主曲率を研究するリーマンフォリエーション理論を適用する。
• グレイのチューブ近傍公式を適用し、複素部分多様体の周囲のチューブ近傍の体積を計算する。
• 測地線法線断面に沿った主曲率関数のリッカチ方程式を用いた曲率の発散を分析する。
• 焦点集合が互いに交わらず、埋め込まれているという条件を適用し、特異葉間の距離に制約を課す。
• 複素構造の整合性から、部分多様体の主曲率が ±1 または 0 に限定されることを要求する。
• 主曲率関数が Cot(θ − r) の形をとり、θ = π/2 でない限り r = π/4 で発散することから、分類が導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 余次元1の、複素葉をもつ ℙⁿ の正則リーマンフォリエーションは存在可能か？
• RQ2 どの複素部分多様体が、最大次元リーマンフォリエーションにおいて特異葉として現れるか？
• RQ3 どのような幾何的条件下で、複素部分多様体が ℙⁿ のリーマンフォリエーションの焦点集合となるか？
• RQ4 チューブ近傍公式から、複素二次曲面内のホロモルフィック曲線の体積の上限を導出可能か？
• RQ5 閉多様体におけるそれと同様の剛性結果が、ℙⁿ の開部分集合における複素リーマンフォリエーションに対して成り立つか？

主な発見

• ℙⁿ の任意の開部分集合において、余次元1の複素リーマンフォリエーションは存在しない。これは、複素射影平面にリーマン的フォリエーションが存在しないことを意味し、リーマン面による被覆は不可能である。
• 複素部分多様体が最大次元リーマンフォリエーションの特異葉として現れるのは、それが完全測地的 ℙᵏ または複素二次曲面 Qⁿ⁻¹ に等長である場合に限る。
• このようなフォリエーションにおいて、特異葉間の距離は正確に π/2 でなければならない。また、主曲率関数は r = π/4 で発散し、特定の曲率値を強制する。
• 主曲率が非ゼロである場合、その値は ±1 または 0 に限定され、定数主曲率をとることを意味する。これにより、キムラのリストによる分類が可能になる。
• r < π/4 の範囲では、ホロモルフィック球面 Γ(ℙ¹) のチューブ近傍の体積は、複素二次曲面 Qⁿ⁻¹ の体積より厳密に小さい。r → π/4 の極限において、不等号は等号に近づく。
• チューブ近傍公式から導かれる体積の上限は、r → π/4 のとき、Vol(Γ(ℙ¹)) < (π/n) × [(1 − (1 − 2sin²r)ⁿ) / (sin²r)ⁿ⁻¹ − (n+1)/n × (sin²r)ⁿ] となる。