[論文レビュー] Riemannian foliations on contractible manifolds

Luis A. Florit, Oliver Goertsches+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 21被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、完全で単連結かつ有理的コントラクトブルな多様体上のリーマン的フォリエーションが、特にコントラクトブルな場合、少なくとも1つの閉じた葉を持つべきであり、1つの閉じた葉の基本群が有限生成であれば、すべての葉が閉じていることを確立している。非負の曲率やコボウンドネスといった追加の幾何的・位相的制約のもとでは、フォリエーションは単純になる。すなわち、リーマン的部分被覆から生じる。

ABSTRACT

We prove that Riemannian foliations on complete contractible manifolds have a closed leaf, and that all leaves are closed if one closed leaf has a finitely generated fundamental group. Under additional topological or geometric assumptions we prove that the foliation is also simple.

研究の動機と目的

• コンパクトでない完全でコントラクトブルな多様体へのGhysのリーマン的フォリエーションに関する結果の拡張。
• コントラクトブルな多様体上のリーマン的フォリエーションが、常に単純である、すなわちリーマン的部分被覆によって与えられるかどうかの調査。
• すべての葉が閉じており、商空間が有理的コントラクトブルになるような条件の特定。
• 特にその普遍被覆を含む葉のホモトピー的およびコホモロジー的性質の分析。
• このようなフォリエーションにおいて、非コントラクトブルだが有理的コントラクトブルな葉が存在し、その構造を探索すること。

提案手法

• 完全な多様体上のフォリエーションの構造を分析するために、特に等長的コホモロジーとBorel構成を用いた抽象的位相的手法の使用。
• 閉じた葉の普遍被覆の性質を調べるため、H空間および有理ホモトピー論の理論の適用。
• 等長的コホモロジーリングのクルル次元を用いて、安定化部分群のランクとフォリエーションの幾何的性質を関連付ける。
• ソウル定理と曲率仮定（非負の断面曲率）を用いて、問題をコボウンドケースに還元する。
• ノイターの定理による固定点代数とコホモロジーリング上の有限群作用に関する有限性結果の活用。
• 球面の局所化およびねじれ化構成（例：$T(S^3)$）を用いて反例を構成し、仮説を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全でコントラクトブルなリーマン的多様体上で、リーマン的フォリエーションが少なくとも1つの閉じた葉を持つための条件は何か。
• RQ2 完全なコントラクトブルな多様体上のすべてのリーマン的フォリエーションは、単純である、すなわちリーマン的部分被覆であるか。
• RQ3 1つの閉じた葉の基本群が有限生成であれば、すべての葉が閉じるのか。
• RQ4 非コントラクトブルだが有理的コントラクトブルな多様体が、コントラクトブルな多様体上のリーマン的フォリエーションの葉として現れることがあるか。
• RQ5 曲率（例：非負の断面曲率）が、このようなフォリエーションの単純性を保証する役割を果たすのか。

主な発見

• 完全で単連結かつ有理的コントラクトブルな多様体上の任意のリーマン的フォリエーションは、少なくとも1つの閉じた、有理的コントラクトブルな葉を持つ。
• 1つの閉じた葉の基本群が有限生成であれば、すべての葉が閉じており、商空間 $M/$ は有理的コントラクトブルである。
• 任意の閉じた葉の普遍被覆は、有理的コントラクトブルなH空間であり、任意の体 $K$ に係数をとるその有理コホモロジーは有限生成である。
• 閉じた葉の普遍被覆の整数コホモロジーが有限生成であれば、フォリエーションは単純であり、すべての葉はコントラクトブルで、底空間 $M/$ は有理的コントラクトブルである。
• 非負の断面曲率のもとでは、完全なコントラクトブルな多様体上の任意のリーマン的フォリエーションは単純である。
• 有理的コントラクトブルな多様体上のコボウンドフォリエーションは、唯一の葉しか持たず、フォリエーションは自明である。