[論文レビュー] Riemannian geometry in infinite dimensional spaces

László Lempert|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 2被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、バナッハ多様体やヒルバート多様体を超える無限次元局所凸空間におけるリーマン幾何学の基礎的道具を確立し、リーマン計量、レヴィチビタ接続、曲率、測地線に焦点を当てる。$r \to 0$ のとき、$K$ を断面曲率とする、小円の長さが $2\pi r(1 - Kr^2/6 + o(r^2))$ に漸近することを証明し、カスケル計量空間における等長写像の研究に重要な解析的道具を提供する。

ABSTRACT

We lay foundations of the subject in the title, on which we build in another paper devoted to isometries in spaces of Kähler metrics.

研究の動機と目的

• バナッハ多様体やヒルバート多様体の枠組みに依存しない、無限次元局所凸空間におけるリーマン幾何的構造（計量、接続、曲率、測地線）を構築すること。
• カスケル幾何学への応用に不可欠な、$C^1$ および $C^2$ マップにおける幾何的概念の厳密な変換則を提供すること。
• 無限次元におけるジャコビ場および曲率の振る舞いを正当化すること、特にレヴィチビタ接続の $C^3$ 正則性下での条件を満たすこと。
• 測地的円板内の小円の長さに対する漸近展開を導出し、曲率と幾何的不変量を結びつけること。

提案手法

• 局所凸空間の開集合上での $C^k$ 微分法を、方向微分と微分の連続性に基づいて定義する。
• $C^1$ 曲線の同値類を用いて接バンドル $T\Omega$ を $\Omega \times V$ に同定し、標準的な微分幾何学的演算を可能にする。
• $C^1$ および $C^2$ 正則性の下で、コシュールの公式を用いてレヴィチビタ接続を定義し、計量の相性と torsion-free 性質を保証する。
• 測地線に沿って、2階常微分方程式 $D^2_{\dot{x}}\varphi = R(x,\dot{x},\varphi)\dot{x}$ の解としてジャコビ場を定義する。
• 計量 $g(x(t),\varphi(t),\varphi(t))$ を4次までテイラー展開し、測地的円板内の円曲線の長さを計算する。
• 合成関数の法則と $t=0$ における曲率の評価を適用し、長さ式における一次補正項 $-Kr^2/6$ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バナッハ多様体やヒルバート多様体の枠組みに依存せずに、無限次元局所凸空間におけるリーマン幾何学を一貫してどのように定式化できるか？
• RQ2 この設定下で、$C^1$ および $C^2$ マップにおけるリーマン幾何的対象の変換則は何か？
• RQ3 無限次元リーマン多様体におけるジャコビ場はどのように振る舞い、その正則性を保証する条件は何か？
• RQ4 このような空間における測地的円板内の小円の長さの漸近的挙動は何か？ そしてそれは曲率とどのように関係するか？
• RQ5 関数 $g(x,\xi,\eta)$ の2階微分が $0$ である条件は、$D_{\dot{x}}\xi = 0$ を満たすためにどのような条件下で成立するか？

主な発見

• 測地的円板内での曲線 $\theta \mapsto e(r\cos\theta, r\sin\theta)$ の長さは、$r \to 0$ のとき、$2\pi r(1 - Kr^2/6 + o(r^2))$ に漸近する。ここで $K$ は断面曲率である。
• $C^3$ 正則性の設定下で、測地線に沿うジャコビ場は常微分方程式 $D^2_{\dot{x}}\varphi = R(x,\dot{x},\varphi)\dot{x}$ を満たし、初期データはテイラー展開により計算可能である。
• 任意のジャコビ場 $\eta$ が $\tau$ で消えるとき、$g(x(t),\xi(t),\eta(t))$ の $t=\tau$ における2階微分が恒等的に $0$ であるための必要十分条件は、$D_{\dot{x}}\xi(\tau) = 0$ であり、$\dot{\eta}(\tau)$ が $V$ で稠密である場合に成立する。
• 曲率項 $R(v,\xi,\eta)\xi$ は、関数 $h(t) = g(x(t),\varphi(t),\varphi(t))$ の4階微分に寄与し、$\varphi(0) = 0$, $D_{\dot{x}}\varphi(0) = \eta$, および $\xi, \eta$ が正規直交であるとき、$h^{(4)}(0) = -8K$ となる。
• 関数 $h(r) = g(x(r),\varphi(r),\varphi(r))$ を $r^4$ までテイラー展開により計算すると、$h(r) = r^2(1 - Kr^2/3 + o(r^2))$ が得られ、これにより長さの公式が導かれる。
• この結果は、指数写像 $e$ の $C^5$ 正則性、レヴィチビタ接続の $C^3$ 正則性、計量 $g$ の $C^1$ 正則性に依存している。