[論文レビュー] Riemannian Geometry of Optimal Rebalancing in Dynamic Weight Automated Market Makers

Matthew Willetts|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2026

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ひとこと要約

ダイナミックウェイトAMMにおけるステップごとの裁定損失は連続するウェイトベクトル間のKL発散であり、ウェイト単体にはFisher–Rao計量が自然である。SLERPをヘリンジャー座標で用いると、AM+GM/正規化ヒューリスティックに一致する中点を持つリバランシングの一次近似最適経路が得られる。

ABSTRACT

In Temporal Function Market Making (TFMM), a dynamic weight AMM pool rebalances from initial to final holdings by creating a series of arbitrage opportunities whose total cost depends on the weight trajectory taken. We show that the per-step arbitrage loss is the KL divergence between new and old weight vectors, meaning the Fisher--Rao metric is the natural Riemannian metric on the weight simplex. The loss-minimising interpolation under the leading-order expansion of this KL cost is SLERP (Spherical Linear Interpolation) in the Hellinger coordinates $η_i = \sqrt{w_i}$, i.e. a geodesic on the positive orthant of the unit sphere traversed at constant speed. The SLERP midpoint equals the (AM+GM)/normalise heuristic of prior work (Willetts & Harrington, 2024), so the heuristic lies on the geodesic. This identity holds for any number of tokens and any magnitude of weight change; using this link, all dyadic points on the geodesic can be reached by recursive AM-GM bisection without trigonometric functions. SLERP's relative sub-optimality on the full KL cost is proportional to the squared magnitude of the overall weight change and to $1/f^2$, where $f$ is the number of interpolation steps.

研究の動機と目的

• 定常価格および確率的価格の下で、ダイナミックウェイトAMMのウェイトリバランシングにおける裁定コストを動機づけ、形式化する。
• ウェイト単体に自然に現れるリーマン幾何構造をFisher–Rao測度とKL発散を用いて特徴づける。
• ウェイト単体上のLeading-order最適補間をSLERPとして導出し、それを既存のAM+GM/正規化ヒューリスティックと結びつける。
• ウェイト軌道をトリゴノメトリなしで再帰的二分法により計算可能なSLERPを、2の冪乗ステップ数で導出する。
• ドリフトレスGBM価格に対して枠組みを拡張し、LVR露出が最適ステップ数に及ぼす影響を分析する。

提案手法

• 各ステップの裁定損失を連続するウェイトベクトル間のKL発散としてモデル化する（定理2）。
• Fisher–Rao測度をウェイト単体のリーマン幾何構造として用い、ヘリンジャー埋め込みを適用して単位球面へ写像する（η = sqrt(w)）。
• Leading-orderの損失最小化補間がヘリンジャー座標でのSLERPであることを証明する（系数5）。
• SLERPの中点が正確に(AM+GM)/normaliseの中点と一致することを示す（定理6）。
• SLERP軌道を2のべき乗ステップ数でトリゴノメトリなしに再帰的二分法で計算できることを導出する（系数7）。
• ドリフトレスGBMの下で確率を持つ価格に拡張し、保持比率の価格依存性がなく、再結合項が総結果を歪めないことを示す（命題1–2、系0補遺）。
• LVRをポテンシャルとして組み込んだ変更された測地線問題を定式化し、ウェイトリバランシングコストとLVR露出のバランスから最適ステップ数f*を導く（§5の命題0）。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ダイナミックウェイトAMMのリバランシング時に裁定コストの下にある幾何構造は何か？
• RQ2 ヘリンジャー埋め込みでのSLERPはウェイト変化のLeading-order最適補間を提供できるか、そしてそれは（AM+GM)/normaliseヒューリスティックとどう関係するか？
• RQ3 価格ダイナミクス（ドリフトレスGBM）は最適リバランシング経路とステップ数にどのように影響するか？
• RQ4 LVR露出がリバランシングにおける最適補間ステップ数にどのような影響を与えるか？
• RQ5 SLERP軌道をトリゴノメトリなしでオンチェーンで効率的に計算できるか？

主な発見

• 各ステップの裁定損失は連続するウェイトベクトル間のKL発散であり、Fisher–Rao測度がウェイト単体の自然な幾何である。
• Leading-orderの損失最小化補間はヘリンジャー座標でのSLERPであり、単位球の正の正射影の等速測地線に対応する。
• SLERPの中点は任意のトークン数とウェイト変化量に対して_AM+GM/normaliseの中点と正確に一致する。
• 2のべき乗ステップ数でのSLERP軌道はトリゴノメトリなしの再帰的二分法で計算可能。
• SLERPのKLコストに対する近似性はO(Omega^2/f^2)で有界で、fが大きくなるとその差は消失する。数値的には小さなギャップが観測される。
• ドリフトレスGBM価格下では保持比率は価格に依存せず、クロス項は総結果をテレスコープさせ、リバランシングコストの核となる結論を保持する。
• LVR露出は有限の最適ステップ数f*を導入し、リバランシングコストとボラティリティ露出のバランスを取る；最適f*での総コストはOmegaとbar{ell}（LVRレート）に比例してスケールする。