[論文レビュー] Riemannian geometry on the quantomorphism group

David G. Ebin, Stephen C. Preston|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、多様体 $M$ 上の接触形式 $\theta$ を保存する微分同相写像の群である量子化群 $π_q(M)$ のリーマン幾何学を確立する。リーマン計量を定義し、測地線方程式を導出し、ソボレフ空間における初期条件への滑らかさと全域的存在を証明する。主な貢献は、測地線方程式が特別な場合、$S^3$ 上で簡略化された準地軸的方程式に還元されることを示し、$S^2$ 上の完全な準地軸的方程式がリー代数の中心拡大上のオイラー＝アルノー方程式として生じることを明らかにしている。この方程式は、同じ正則性条件で解が保存されることを示している。

ABSTRACT

We are interested in the geometry of the group $\mathcal{D}_q(M)$ of diffeomorphisms preserving a contact form $θ$ on a manifold $M$. We define a Riemannian metric on $\mathcal{D}_q(M)$, compute the corresponding geodesic equation, and show that solutions exist for all time and depend smoothly on initial conditions. In certain special cases (such as on the 3-sphere), the geodesic equation is a simplified version of the quasigeostrophic equation, so we obtain a new geodesic interpretation of this geophysical system. We also show that the genuine quasigeostrophic equation on $S^2$ can be obtained as an Euler-Arnold equation on a one-dimensional central extension of $T_{\id}\mathcal{D}_q(M)$, and that our global existence result extends to this case. If $E$ is the Reeb field of $θ$ and $μ$ is the volume form, assumed compatible in the sense that $ ext{div} E=0$, we show that $\mathcal{D}_q(M)$ is a smooth submanifold of $\mathcal{D}_{E,μ}(M)$, the space of diffeomorphisms preserving the vector field $E$ and the volume form $μ$, in the sense of $H^s$ Sobolev completions. The latter manifold is related to symmetric motion of ideal fluids. We further prove that the corresponding geodesic equations and projections are $C^{\infty}$ objects in the Sobolev topology.

研究の動機と目的

• 接触形式 $\theta$ を保存する微分同相写像の群 $\mathcal{D}_q(M)$ のリーマン幾何学を発展させること。
• ソボレフ完備化の文脈において、$\mathcal{D}_q(M)$ 上にリーマン計量を定義し、それに対応する測地線方程式を導出すること。
• $H^s$ ソボレフ位相における測地線フローの全域的存在と初期条件への滑らかな依存性を確立すること。
• $\mathcal{D}_q(M)$ 上の測地線方程式が、$S^3$ のような特別な場合に簡略化された準地軸的方程式に還元されることを示し、$S^2$ 上の完全な準地軸的方程式を、リー代数の中心拡大上のオイラー＝アルノー方程式に関連付けること。
• $\mathcal{D}_q(M)$ が、リーマン場 $E$ と体積形式 $\mu$ を保存する体積同相写像群 $\mathcal{D}_{E,\mu}(M)$ の滑らかな部分多様体であることを示すこと。$H^s$ 位相において、$\operatorname{div} E = 0$ の条件下で成立する。

提案手法

• 体積形式 $\mu = \theta \wedge (d\theta)^n$ に関する $L^2$ 内積を用いて、接触分配に接するベクトル場のリー代数 $\mathfrak{X}_q(M)$ 上にリーマン計量を定義する。
• オイラー＝アルノー形式を用いて測地線方程式を導出し、$S_\theta f$ を $f$ に関連するハミルトニアンベクトル場として表すと、$\partial_t S_\theta f + \nabla_{S_\theta f} S_\theta f = -\nabla \Delta_\theta f$ と表される。
• ソボレフエネルギー推定を用いて $\|\Delta_\theta f\|_{H^{s-1}}$ を評価し、交換子推定と $\|S_\theta f\|_{C^1}$ の有界性を活用して、$s > \dim M/2 + 1$ の場合に $H^s$ で一様な制御と全域的存在を証明する。
• 関数 $\varphi$（例：$S^2$ 上の高さ関数）を用いて、リー代数 $T_{\text{id}}\mathcal{D}_q(M)$ の1次元中心拡大を構成し、完全な準地軸的方程式をオイラー＝アルノー方程式としてモデル化する。
• $\mathcal{D}_q(M)$ が $\mathcal{D}_{E,\mu}(M)$ の $H^s$ 位相における滑らかな部分多様体であることを証明する。$\mathcal{D}_q(M)$ が $E$ と $\mu$ を両方保存することと、$\operatorname{div} E = 0$ の条件を用いる。
• 高階ソボレフノルムにおける一様近似と一意性を用いて、$C^\infty$ 初期データが $C^\infty$ 測地線を生成することを示し、測地線方程式と射影がソボレフ位相において $C^\infty$ の対象であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子化群 $\mathcal{D}_q(M)$ 上に一貫したリーマン計量を定義可能か？ その幾何学的構造における測地線方程式は何か？
• RQ2 $\mathcal{D}_q(M)$ 上の測地線方程式は、ソボレフ空間 $H^s$ において、全域的存在と初期条件への滑らかな依存性を示すか？
• RQ3 $S^3$ 上の簡略化された準地軸的方程式は、特定の計量を用いた $\mathcal{D}_q(M)$ 上の測地線フローとして導出可能か？
• RQ4 $S^2$ 上の完全な準地軸的方程式は、$\mathcal{D}_q(M)$ のリー代数の中心拡大上のオイラー＝アルノー方程式として実現可能か？
• RQ5 $H^s$ 位相において、量子化群 $\mathcal{D}_q(M)$ は、リーマン場 $E$ と体積形式 $\mu$ を保存する体積同相写像群 $\mathcal{D}_{E,\mu}(M)$ の滑らかな部分多様体か？

主な発見

• $\mathcal{D}_q(M)$ 上の測地線方程式は、$s > \dim M/2 + 1$ の $H^s$ ソボレフ空間において、全域的かつ滑らかに定義されており、解はすべての時間にわたり存在し、初期条件に対して滑らかに依存する。
• $S^3$ にベルジャー計量を導入した場合、測地線方程式は簡略化された準地軸的方程式 $ (\Delta f - \alpha^2 f)_t + \{f, \Delta f\} = 0 $ に還元され、この地球物理学的モデルに新たな幾何的解釈を与える。
• $S^2$ 上の完全な準地軸的方程式 $ (\Delta f - \alpha^2 f)_t + \{f, \Delta f - \beta \cos\theta\} = 0 $ は、$T_{\text{id}}\mathcal{D}_q(M)$ の1次元中心拡大上のオイラー＝アルノー方程式として生じ、拡大パrameter はコリオリパラメータ $\beta$ と関連している。
• $S^2$ 上の完全な準地軸的方程式の全域的存在は、簡略化された場合に用いられたエネルギー推定技術を拡張することで確立され、ポテンシャル渦度 $\Delta_\theta f - \alpha^2 f - \beta \cos\theta$ の一様有界性に依存している。
• $\operatorname{div} E = 0$ の条件下で、量子化群 $\mathcal{D}_q(M)$ は $H^s$ 位相において $\mathcal{D}_{E,\mu}(M)$ の滑らかな部分多様体であり、包含写像は $C^\infty$ である。
• $C^\infty$ 初期データから出発する測地線は、すべての時間において $C^\infty$ である。これは一意性と高階ソボレフノルムにおける近似によるものであり、$C^\infty$ 位相におけるフローの滑らかさを確認している。