[論文レビュー] Riemannian Neural Optimal Transport

Alessio Micheli, Yueqi Cao+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2026

3D Shape Modeling and Analysis被引用数 0

ひとこと要約

要約: Introduces Riemannian Neural OT (RNOT), a continuous neural framework for learning OT maps directly on Riemannian manifolds, avoiding discretization and breaking the curse of dimensionality with polynomial complexity in dimension.

ABSTRACT

Computational optimal transport (OT) offers a principled framework for generative modeling. Neural OT methods, which use neural networks to learn an OT map (or potential) from data in an amortized way, can be evaluated out of sample after training, but existing approaches are tailored to Euclidean geometry. Extending neural OT to high-dimensional Riemannian manifolds remains an open challenge. In this paper, we prove that any method for OT on manifolds that produces discrete approximations of transport maps necessarily suffers from the curse of dimensionality: achieving a fixed accuracy requires a number of parameters that grows exponentially with the manifold dimension. Motivated by this limitation, we introduce Riemannian Neural OT (RNOT) maps, which are continuous neural-network parameterizations of OT maps on manifolds that avoid discretization and incorporate geometric structure by construction. Under mild regularity assumptions, we prove that RNOT maps approximate Riemannian OT maps with sub-exponential complexity in the dimension. Experiments on synthetic and real datasets demonstrate improved scalability and competitive performance relative to discretization-based baselines.

研究の動機と目的

• OT を多様体上で動機付け、離散的アプローチの限界（次元の呪い）を特定する。
• リーマン幾何学多様体上で直接動作する連続的で内在的なニューラル OT フレームワークを提案する。
• RNOT の近似品質と複雑性について理論的保証を確立する。
• 合成データおよび実データ上でのスケーラビリティと競争力のある性能を示す。

提案手法

• OT ポテンシャルを implicit c- concave クラスで表現し、c-transform によって OT 構造を構築時に強制する。
• 多様体の特徴写像上で作用するニューラルネットワークを使ってポテンシャルをパラメータ化し、リーマン幾何学的指数写像を通じて輸送写像を回復する: T(x)=exp_x(-∇φ(x))。
• Gromov のランドマークへの距離埋め込みを用いて、Assumption 2.2 を満たす注入的特徴写像 φ を作成する。
• 普遍性を証明: implicit c-concave クラス内のポテンシャルの近似が誘導される写像の真の OT 写像への収束をもたらす。
• mild な正則性の下で、OT ポテンシャルと写像を近似するためのネットワーク幅と深さに対して ε-精度で多項式の bounds を提供する。
• ヤコビ行列式を用いず Kantorovich 半対偶目的でエンドツーエンドに訓練する。

(a) Source $\mu$ (150 Ma)

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続的で内在的なニューラル OT 写像は、離散化なしに多様体上で正確な輸送を達成できるか？
• RQ2 ニューラルネットワークを用いてリーマン OT 写像を学習する際の複雑さと近似保証は何か？
• RQ3 RNOT ポテンシャルはサンプル外で一般化し、多様体上で次元に対して多項式的にスケールするか？
• RQ4 合成データおよび実データ上で、離散化ベースのベースラインと比較して RNOT はどうか？

主な発見

Model	KL	ESS	Time (s)
Ours (FPS)	0.03 a 0.00	0.97 a 0.00	986 a 2
Ours (RND)	0.04 a 0.00	0.95 a 0.00	1100 a 1
RCPM	0.0037 a 0.0008	0.996 a 0.000	37.3 a 0.6
RCNF	2.38 a 0.10	0.48 a 0.02	352 a 6
Moser Flow	1.16 a 0.03	0.82 a 0.00	758 a 16

• 多様体上の離散出力 OT メソッドは次元の呪いに悩まされる：固定精度を得るには次元に対して指数的パラメータ増加が必要。
• RNOT は連続的なアプローチを提供し、内蔵された c-concavity により、指数写像を介したサンプル外生成を可能にする。
• 理論的には、 mild な正則性の下で、OT ポテンシャルと写像の近似に対する ε^{-1} の複雑さが多項式的であることを示す。
• S^2 および T^2 での実証結果は、KLダイバージェンスと ESS が競争力があり、離散化ベースのベースラインよりも次元スケーラビリティが優れている。
• S^2 における大陸移動 OT は、地球物理学的直感に沿った解釈可能な測地線輸送を示す。

(b) Target $\nu$ (Present)