[論文レビュー] Riemannian products which are conformally equivalent to Einstein metrics

Richard Cleyton|ArXiv.org|May 23, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、アインシュタイン計量と滑らかに同値なリーマン計量の積を分類し、それが2つの場合に分けられることを示している：ワーペッド積構造、または非定数の共形因子をもつアインシュタイン多様体の特定の積構造で、共形因子に連立する偏微分方程式（PDE）が満たされる。主な結果は、このような計量の完全な特徴付けであり、非ワーペッドの場合には完全な分類が得られる：共形変換のもとで、完備で非ワーペッドなアインシュタイン計量が得られるのは、特定の共形因子をもつユークリッド空間のみである。

ABSTRACT

Necessary and sufficient conditions for a Riemannian product to be conformally equivalent to an Einstein manifold are given. Such spaces which are complete are characterized.

研究の動機と目的

• リーマン計量の積がアインシュタイン計量と滑らかに同値であるための必要十分条件を特定すること。
• アインシュタイン計量と滑らかに同値な完備なリーマン計量の積を特徴付けること。
• ユークリッド空間や球面を含む積に関する既存の結果を滑らかに同値性の文脈に拡張すること。
• ワーペッド積とねじれ付き積が滑らかに同値なアインシュタイン計量の文脈で果たす役割を明確にすること。

提案手法

• 共形変換による計量変更におけるリッチ曲率の変換を用いて、共形変更された積計量におけるアインシュタイン条件を導出し、分析すること。
• 変数分離法と曲率分解を用い、共形アインシュタイン条件を各因子多様体上で連立する偏微分方程式（PDE）に簡略化すること。
• リッチ平坦およびアインシュタイン多様体に関する[9]および[13]の結果を応用し、完備解を分類すること。
• ワーペッド積フレームワークを用いて、ファイバー上で定数リッチ曲率をもつ特定のワーペッド積構造のみがアインシュタイン計量をもたらすことを示すこと。
• 極座標と共形変換を用いて、R^n 上の標準計量に特定の共形因子を適用すると、球面計量が得られることを示すこと。
• 非ワーペッドの場合に、共形因子がφ(s,t) = ½(s² + t² + R²) の形をとらねばならないことを確認すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン計量の積がアインシュタイン計量と滑らかに同値である条件は何か？
• RQ2 滑らかに同値なアインシュタイン計量に変換可能な完備なリーマン計量の積はどのようなものか？
• RQ3 2つのアインシュタイン多様体（いずれも空間形式でない）の積が、アインシュタイン計量と滑らかに同値になれるか？
• RQ4 共形因子と曲率方程式が、積因子の幾何にどのような制約を課えるか？
• RQ5 高ランクのユークリッド因子（q > 1）が、共形変換のもとでスカラー曲率が正のアインシュタイン計量の存在を妨げる理由は何か？

主な発見

• リーマン計量の積がアインシュタイン計量と滑らかに同値であるための必要十分条件は、それが特定のPDEを満たすワーペッド積であるか、非定数の共形因子をもつ2つのアインシュタイン多様体の積であるかのいずれかである。
• 非ワーペッドの場合、滑らかに同値なアインシュタイン計量をもつ唯一の完備なリーマン計量の積は、ユークリッド空間R^nと、共形因子φ(s,t) = ½(s² + t² + R²) であり、変数変換により標準球面計量が得られる。
• 共形因子φ = φ₁(x) + φ₂(y) は、∇²φ₁ = -(āφ₁ + b̄)g₁ および ∇²φ₂ = (āφ₁ - b̄)g₂ を満たさねばならず、アインシュタイン定数はλ₁ = (n₁ - 1)ā および λ₂ = -(n₂ - 1)ā である。
• 量|dφ₁|² + āφ₁² + 2b̄φ₁ および |dφ₂|² - āφ₂² + 2b̄φ₂ は定数であり、その和は再正規化されたスカラー曲率ρ̄に等しい。
• 非ワーペッドの場合で完備な計量が成り立つとき、唯一の解はM = R^{n₁} × R^{n₂} に標準計量とφ(s,t) = ½(s² + t² + R²) をもつものであり、これは共形再パrametrizationのもとで球面計量に対応する。
• 二重にねじれた、または二重にワーペッドされた積は、アインシュタイン計量であるためには、標準的なワーペッド積に還元されねばならず、非自明なねじれや二重ワーピングはワーペッド積の場合を除き、新たなアインシュタイン計量を生まない。