[論文レビュー] Riemannian quantum circuit optimization for Hamiltonian simulation

Ayse Kotil, Rahul Banerjee+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 35被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ハミルトニアンシミュレーションのためのトロッター＝シュバイツァー型量子回路を向上させるために、リーマン最適化フレームワークを提案する。量子ゲートを多様体上の一般ユニタリ行列として扱うことで、1次元のイジング模型およびヘイゼンベルグ模型において、標準の4次精度分割法と比較して、桁違いの精度向上を達成する。

ABSTRACT

Hamiltonian simulation, i.e., simulating the real time evolution of a target quantum system, is a natural application of quantum computing. Trotter-Suzuki splitting methods can generate corresponding quantum circuits; however, a faithful approximation can lead to relatively deep circuits. Here we start from the insight that for translation invariant systems, the gates in such circuit topologies can be further optimized on classical computers to decrease the circuit depth and/or increase the accuracy. We employ tensor network techniques and devise a method based on the Riemannian trust-region algorithm on the unitary matrix manifold for this purpose. For the Ising and Heisenberg models on a one-dimensional lattice, we achieve orders of magnitude accuracy improvements compared to fourth-order splitting methods. The optimized circuits could also be of practical use for the time-evolving block decimation (TEBD) algorithm.

研究の動機と目的

• 高次のトロッター＝シュバイツァー近似に起因する、ハミルトニアンシミュレーションにおける深層量子回路の課題に対処すること。
• パラメータ化された変分回路の制限を克服し、パラメータ化されたゲートではなく、完全なユニタリゲートを最適化すること。
• 並進不変性とテンソルネットワーク手法を活用し、大規模系における量子回路の効率的最適化を可能にすること。
• 量子回路の忠実度を向上させるとともに回路深さを低減する、スケーラブルな古典的最適化フレームワークの開発。
• 最適化された回路を、時間発展ブロック分割法（TEBD）や将来の2次元シミュレーションにおいて実用的に行えるようにすること。

提案手法

• 目標時間発展演算子と回路のユニタリ変換との距離を最小化する問題として、量子回路最適化を定式化し、ユニタリ行列多様体上で扱う。
• リーマン的信頼域法を用いて、ゲート行列 $ G_{ heta} $ を最適化し、多様体 $ \mathcal{U}(d^2) $ 上の点として扱い、リーマン幾何学を用いて効率的な勾配降下を実現する。
• テンソルネットワーク手法を用いて勾配と更新方向を効率的に計算し、全状態ベクトルの再構築を回避する。
• 複素数微分のためのウィーリングター形式を用いて、ユニタリ行列に関するコスト関数のリーマン勾配を計算する。
• 有限サイズ効果を低減し、大規模系へのスケーリングを可能にするために、周期的境界条件を満たすブリックウォール回路レイアウトを採用する。
• 固定された時間発展演算 $ t \sim 1 $ に対してゲートを最適化し、回路の繰り返しにより整数倍の時間発展演算を実現可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全なユニタリゲートのリーマン最適化は、ハミルトニアンシミュレーションにおけるトロッター＝シュバイツァー型量子回路の精度を著しく向上させ得るか？
• RQ2 ユニタリ行列の最適化は、パラメータ化されたゲート最適化と比較して、忠実度および回路深さの観点でどのように異なるか？
• RQ3 小規模系で最適化された回路を、大規模で並進不変な系に信頼性を持って外挿できる範囲はどの程度か？
• RQ4 提案手法は、TEBDのような古典的シミュレーションアルゴリズムの性能を向上させ得るか？
• RQ5 周期的境界条件は、本手法の最適化およびスケーラビリティにどのような影響を及えるか？

主な発見

• 提案手法は、1次元イジング模型およびヘイゼンベルグ模型において、標準の4次精度トロッター＝シュバイツァー分割法と比較して、忠実度において桁違いの向上を達成した。
• 光円錐構造および並進不変性のおかげで、最適化された回路は大規模系に対しても高い精度を維持でき、トレーニングサイズを超えた忠実なシミュレーションが可能となった。
• リーマン的信頼域法は、高忠実度解への収束に成功し、量子回路設計における多様体ベース最適化の有効性を示した。
• 光円錐制約を満たす限り、長距離相互作用を有する系に対しても本手法は適用可能である。
• 回路の連結により、複数の時間ステップにわたって最適化ゲートを再利用可能であり、深さを低減したスケーラブルな時間発展演算が実現可能となった。
• 本フレームワークは2次元格子および並進不変でない系へも拡張可能であるが、系のサイズに応じて計算コストが増加する。