[論文レビュー] Riemannian submersions from simple, compact Lie groups

Martin Kerin, Krishnan Shankar|ArXiv.org|Oct 22, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、双不変計量を備えた単純でコンパクトなリー群から、任意の群作用による商空間でない滑らかな多様体へ無限に多くのリーマン的準射影を構成する。直交的分解と非一様計量を用いた独創的な構成により、球面、複素射影空間、スタイフェル多様体などの基底多様体が、全空間のリー群の同次空間として得られないことが示され、K. グローブが提起した長年の疑問、すなわちこのような準射影の構造についての問いに答えを提示する。

ABSTRACT

In this paper we construct infinitely many examples of a Riemannian submersion from a simple, compact Lie group $G$ with bi-invariant metric onto a smooth manifold that cannot be a quotient of $G$ by a group action. This partially addresses a question of K. Grove's about Riemannian submersions from Lie groups.

研究の動機と目的

• 双不変計量を備えたコンパクトなリー群からのリーマン的準射影の構造について、K. グローブが提起した未解決の問いに応えること。
• 基底多様体が任意の群作用による全空間の商でないようなリーマン的準射影の例を構成すること。
• これまで唯一知られていた双双商構成を超えて、リーマン的準射影の既知のクラスを拡張すること。
• 球面やスタイフェル多様体などの同次空間が、リー群からの準射影の基底として現れうることを示し、それらが群自体の商でない場合も含むこと。

提案手法

• 単純リー群のリー代数を、対称的および非対称的同次空間に対応する部分代数に直交的分解する。
• 2段階のプロセスによる準射影の構成：まずリー群から対称空間への準射影を構成し、次にその対称空間から最終的な基底多様体への第二の準射影を構成する。
• 中間の同次空間に非一様計量を導入することで、合成が非直交性を持つファイバーを持つリーマン的準射影を保証する。
• 全測地的ファイバーを備えたリーマン的準射影の理論を適用し、長大なホモトピー系列を用いて群の商構造が排除されることを示す。
• 単純リー代数の部分代数への和分解を分類するオリシチクの分類を活用し、適切な対称的および非対称的ペアを同定する。
• 誘導計量における水平分布と垂直分布の直交性を確認することで、合成写像がリーマン的準射影であることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双不変計量を備えたコンパクトなリー群からのリーマン的準射影が、群作用による商でない基底をもつことは可能か？
• RQ2 単純でコンパクトなリー群からのリーマン的準射影で、双双商準射影でないものは存在するか？
• RQ3 このような準射影の基底多様体に課される位相的および幾何学的制約は何か？
• RQ4 リー群からの準射影の基底が、S^8 や CP^{2n-2} のような空間である場合、それが群自体の同次空間でないことは可能か？

主な発見

• 本論文は、双不変計量を備えた単純でコンパクトなリー群から、任意の群作用による商でない基底への無限に多くのリーマン的準射影を構成する。
• SO(16) から S^8 へのリーマン的準射影を構成し、これは双双商でない。必要な構造群の次元が 112 であり、単純リー群として存在しないからである。
• 構成法により、SO(2n) から S^{2n-2}、SU(2n) から S^{4n-3}、SU(2n) から CP^{2n-2}、SO(4n) から V_3(R^{4n-1}) 及びその S^1 による商への準射影が得られ、それぞれ n ≥ 3 または n ≥ 4 の範囲で成り立つ。
• 基底多様体（S^8 や CP^{2n-2}）が任意の G/U に微分同相でないことが、ホモトピー群の解析と、π3 = Z を満たす次元 112 のリー群が存在しないことから確認された。
• SO(4n-1)/Sp(n-1)Sp(1) に同調的計量を導入しても、中間の写像 π2 と π2′ が同時にリーマン的準射影にならないことが証明され、構成の非同調的性質が裏付けられた。
• SO(16) → S^8 の一例にとどまらず、体系的な準射影族が得られ、双双商フレームワークを超えた新しい準射影のクラスが示された。