[論文レビュー] Riesz exponential families on homogeneous cones

Imen Boutouria, Abdelhamid Hassairi|ArXiv.org|Jun 10, 2009

Functional Equations Stability Results参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、部分的に順序付けられた添字集合上の乗数を用いて定義される一般化されたべき関数を用いて、Vinberg代数の同次コーン上におけるRiesz指数型分布族を導入する。Gindikinの結果を一般化し、Δχ(θ⁻¹) が正の測度 Rχ のラプラス変換であるような乗数 χ の集合を同定し、Rχ が指数型分布族を生成する条件を特定し、その分散関数を V(m) = ∑i∈I 1/λi (P(mi⪯) - P(mi≺)) として導出する。本研究は、対称コーンを超えて、任意の順序構造を持つ一般の同次コーンへとWishart分布およびRiesz分布を拡張する。

ABSTRACT

In this paper, we introduce, for a multiplier $χ$, a notion of generalized power function $x\mapsto Δ_χ(x),$ defined on the homogeneous cone ${\mathcal{P}}$ of a Vinberg algebra ${\mathcal{A}}$. We then extend to ${\mathcal{A}}$ the famous Gindikin result, that is we determine the set of multipliers $χ$ such that the map $θ\mapsto Δ_χ(θ^{-1})$, defined on ${\mathcal{P}}^{\ast}$, is the Laplace transform of a positive measure $R_χ$. We also determine the set of $χ$ such that $R_χ$ generates an exponential family, and we calculate the variance function of this family

研究の動機と目的

• Vinberg代数における一般の同次コーンへ、Riesz分布およびWishart分布の理論を対称コーンから拡張すること。
• 部分的に順序付けられた添字集合に関連する乗数 χ を用いて、同次コーン上に一般化されたべき関数 Δχ(x) を定義すること。
• Δχ(θ⁻¹) が双対コーン 𝒫* 上の正の測度 Rχ のラプラス変換であるような乗数 χ の集合を特定し、Gindikinの結果を一般化すること。
• Rχ が自然指数型分布族を生成する条件を特定し、その結果得られる族の分散関数を計算すること。

提案手法

• 添字集合 I が部分的に順序付けられた集合であるように、ベクトル空間 𝒜ij からなる積空間 𝒜 = ∏i,j 𝒜ij 上にVinberg代数構造を定義する。
• 順序関係 ⪯ に基づいて、厳密な主小行列と大きな主小行列の2種類を導入し、乗数 χ に対して一般化されたべき関数 Δχ(x) を定義する。
• 2次的表現 P(X)K = X(KX) 及びその対称性を用いて、逆写像 X ↦ X⁻¹ の微分を分析し、(X⁻¹)'(K) = -P(X⁻¹)(K) を確立する。
• 累積母関数 kRχ(θ) を -∑i∈I λi (log Δ⪯i(θ) - log Δ≺i(θ)) として導出し、1階および2階微分を求める。
• 逆写像の微分およびコーンの構造を用いて、分散関数を V F(Rχ)(m) = ∑i∈I 1/λi (P(mi⪯) - P(mi≺)) として表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの乗数 χ に対して、写像 θ ↦ Δχ(θ⁻¹) が双対コーン 𝒫* 上の正の測度 Rχ のラプラス変換となるか？
• RQ2 測度 Rχ が同次コーン上に自然指数型分布族を生成するための条件は何か？
• RQ3 Riesz指数型分布族の分散関数は、添字集合 I の順序構造にどのように依存するか？
• RQ4 分散関数 V F(Rχ)(m) の明示的形は、2次的表現 P および成分 mi⪯, mi≺ を用いてどのように表されるか？
• RQ5 提案された枠組みは、古典的なWishart分布およびRiesz分布の対称コーン上での結果をどのように一般化するか？

主な発見

• Δχ(θ⁻¹) が正の測度 Rχ のラプラス変換であるような乗数 χ の集合は、順序構造に関連する特定の添字部分集合 𝒫 および 𝒮 に対してすべての i ∈ 𝒫 ∪ 𝒮 で λi > 0 であるという条件により特徴づけられる。
• 測度 Rχ が自然指数型分布族を生成するのは、すべての i ∈ 𝒫 ∪ 𝒮 で λi > 0 のときに限る。これは、Rχ の台が超平面に集中しないことを保証する。
• Riesz指数型分布族の分散関数は、V F(Rχ)(m) = ∑i∈I 1/λi (P(mi⪯) - P(mi≺)) で与えられ、これはi.i.d.状況におけるWishartの分散関数 1/λ P(m) を一般化する。
• 逆写像の微分は (X⁻¹)'(K) = -P(X⁻¹)(K) を満たし、これは累積母関数の2階微分を導出する際に重要な恒等式である。
• Gindikinの定理は、全順序を要件としない任意の部分順序を持つVinberg代数へ一般化され、Riesz分布の定義域が一般の同次コーンへ拡張される。
• 全順序の状況では、この枠組みは古典的なRiesz分布およびWishart分布の対称コーン上での結果を回復し、先行研究と整合性を保つ。