[論文レビュー] Riesz potential and maximal function for Dunkl transform

Д. В. Горбачев, В. И. Иванов+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2017

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 22被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、Dunkl変換に関連するRiesz型ポテンシャルおよび最大関数の重み付き$(L^p, L^q)$有界性と弱型推定を確立し、古典的なHardy–Littlewood–Sobolevの不等式を一般化する。重み付き$L^p$不等式における最良定数を導出し、BecknerおよびSamkoの結果を一般化された移動作用素およびDunklフーリエ解析を用いてDunkl設定へ拡張する。

ABSTRACT

We study weighted $(L^p, L^q)$-boundedness properties of Riesz potentials and fractional maximal functions for the Dunkl transform. In particular, we obtain the weighted Hardy-Littlewood-Sobolev type inequality and weighted week $(L^1, L^q)$ estimate. We find a sharp constant in the weighted $L^p$-inequality, generalizing the results of W. Beckner and S. Samko.

研究の動機と目的

• Dunkl変換設定におけるRiesz型ポテンシャルおよび分数階最大関数の重み付き$(L^p, L^q)$-有界性を確立すること。
• Stein–Weissの不等式を、最良定数を伴ってDunklフレームワークへ一般化すること。
• BecknerおよびSamkoの古典的最良定数結果を、Dunkl調和解析の文脈における重み付き$L^p$不等式へ拡張すること。
• 重み付き$L^p$空間におけるLizorkin型空間$Φ_k$の稠密性を証明すること。

提案手法

• Dunkl変換$Τ_k$およびその性質、特に一般化された移動作用素$τ^y_k$を用いる。
• Dunkl畳み込みを用いて定義される一般化されたRiesz型ポテンシャル$I^k_\alpha f(x) = (\gamma^k_\alpha)^{-1} \int_{\mathbb{R}^d} \tau^{-y}_k f(x) |y|^{\alpha - d_k} d\mu_k(y)$を採用する。
• 正の$L_p$-有界な一般化された移動作用素$\mathcal{T}^t f(x) = \int_{\mathbb{S}^{d-1}} \tau^{ty'}_k f(x) d\sigma_k(y')$を用いてD-Riesz型ポテンシャルを表現する。
• Dunkl測度$d\mu_k(x) = (2\pi)^{-d/2} \prod_{a\in R_+} |\langle x,a\rangle|^{2k(a)} dx$および関連するラプラシアン$\Delta_k$を用いる。
• Lizorkin空間$\Phi_k$が$I^k_\alpha$および$\mathcal{F}_k(I^k_\alpha)$の下で不変であることと、$\Psi_k = \Psi$をテイラー展開および$e^{-\Delta_k/2}$の性質を用いて証明する。
• 双対性および双対性に基づく近似$\psi_{0N}(|y|) = \mathcal{F}_k(\eta(N\cdot))(y)$を適用し、$\Phi_k$が重み付き$L^p$空間に稠密であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Dunkl変換設定におけるRiesz型ポテンシャルの重み付き$(L^p, L^q)$-有界性はどのような性質を示すか？
• RQ2 BecknerおよびSamkoの結果を一般化して、Dunkl変換における重み付き$L^p$不等式の最良定数を計算できるか？
• RQ3 一般化された移動作用素$\mathcal{T}^t$は、Dunkl Riesz型ポテンシャルの表現および解析をどのように支援するか？
• RQ4 $-d_k/p < \beta < d_k/p'$のとき、Lizorkin型空間$\Phi_k$は$L^p(\mathbb{R}^d, |x|^{\beta p} d\mu_k)$に稠密か？
• RQ5 古典的空間$\Psi$とDunkl版空間$\Psi_k$の関係は何か？

主な発見

• 本稿は、$1 < p < \infty$, $-d_k/p < \beta < d_k/p'$, $\gamma < d_k/q$, $\alpha - \gamma - \beta = d_k(1/p - 1/q)$, および$\gamma + \beta \geq 0$の条件下で、Dunkl Riesz型ポテンシャル$I^k_\alpha$の重み付き$(L^p, L^q)$-有界性を証明し、Stein–Weissの不等式を一般化する。
• 重み付き$L^p$不等式における最良定数が次のように導出される：$\mathbf{c}(\alpha,\beta,\gamma,p,p,d_k) = 2^{-\alpha} \frac{\Gamma(\frac{1}{2}(\frac{d_k}{p} - \alpha + \beta))\Gamma(\frac{1}{2}(\frac{d_k}{p'} - \beta))}{\Gamma(\frac{1}{2}(\frac{d_k}{p'} + \alpha - \beta))\Gamma(\frac{1}{2}(\frac{d_k}{p} + \beta))}$、これはBecknerおよびSamkoの結果をDunklの場合へ拡張する。
• $-d_k/p < \beta < d_k/p'$のとき、空間$\Phi_k$が$L^p(\mathbb{R}^d, |x|^{\beta p} d\mu_k)$に稠密であることが示され、分布的定義の適用可能性が保証される。
• $\Psi_k = \Psi$が証明され、原点ですべての導関数が消えるDunkl版の関数空間が古典的空間と一致することが示される。
• 弱型$(L^1, L^q)$推定が確立される：$p=1$, $1<q<\infty$, $\beta \leq 0$のとき、$\mu_k(\{x : |x|^{-\gamma} |I^k_\alpha f(x)| > \lambda \}) \lesssim \left( \frac{\||x|^\beta f\|_{L^1}}{\lambda} \right)^q$、これは古典的な弱有界性結果を一般化する。
• 一般化された移動作用素を用いて、$I^k_\alpha f(x) = (\gamma^k_\alpha)^{-1} \int_0^\infty \mathcal{T}^t f(x) t^{\alpha - d_k} d\nu_{\lambda_k}(t)$の表現が導出され、正の作用素による解析が可能になる。