[論文レビュー] Riesz representation and optimal stopping with two case studies

Sören Christensen, Paavo Salminen|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 35被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、過剰関数のリース表現を用いた多変数最適停止問題への新規応用を提示する。特に、最適投資問題とアメリカン・プット・オプションの価格設定に焦点を当てる。リース表現を活用することで、一意な解として最適停止境界を特徴付ける積分方程式を導出し、閉形式解が得られない高次元かつ有限時間枠組みにおいて、停止領域を明示的かつ厳密に特定する手法を提供する。

ABSTRACT

In this paper we demonstrate that the Riesz representation of excessive functions is a useful and enlightening tool to study optimal stopping problems. After a short general discussion of the Riesz representation we concretize, firstly, on a d-dimensional and, secondly, a space-time one-dimensional geometric Brownian motion. After this, two classical optimal stopping problems are discussed: 1) the optimal investment problem and 2) the valuation of the American put option. It is seen in both of these problems that the boundary of the stopping region can be characterized as a unique solution of an integral equation arising immediately from the Riesz representation of the value function. In Problem 2 the derived equation coincides with the standard well-known equation found in the literature.

研究の動機と目的

• 従来の閉形式解が得られない高次元最適停止問題を体系的に解くための手法を開発すること。
• リース表現から導かれる積分方程式を用いて、多変数最適投資問題における最適停止境界を特徴付けること。
• アメリカン・プット・オプション行使境界の既知の積分方程式を再導出し、その一意性をリース表現に基づいて新たな証明を行うこと。
• 特に幾何ブラウン運動を対象とする、有限時間枠組みおよび多変数マルコフ過程への過剰関数理論の適用範囲を拡張すること。
• 高次元や有限時間枠組みの複雑な設定において、最適停止境界を計算可能にする、暗黙の積分方程式形式による数値的実装可能なフレームワークを提供すること。

提案手法

• 最適停止問題の価値関数を、状態空間上の表現測度に関する積分として表現するリース表現定理を用いる。
• d次元および空間時間1次元の幾何ブラウン運動にこの表現を適用し、多変数および有限時間枠組みの問題の解析を可能にする。
• 停止領域 ∂S における境界条件 $ V(x) = g(x) $ を活用して、最適停止境界に関する積分方程式を導出する。
• リゾルベント核およびグリーン関数を用いて、価値関数を報酬関数とマルコフ過程を含む期待値の形で表現する。
• 継続領域および停止領域における価値関数の微分可能性と凸性を確立し、滑らかな境界の存在を裏付ける。
• 導出された積分方程式を解くための数値的手法を提案し、最適停止境界の実用的計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 過剰関数のリース表現を用いて、多変数最適停止問題における最適停止境界を特徴付けることは可能か？
• RQ2 リース表現は、最適投資問題における最適停止境界を一意に定義する積分方程式へどのように導くか？
• RQ3 リースに基づくアプローチは、アメリカン・プット・オプション行使境界の標準的積分方程式を再現できるか。また、この方法により一意性を証明できるか？
• RQ4 この表現フレームワーク下で、価値関数および停止境界の正則性（例えば、微分可能性、凸性）はどのような性質を示すか？
• RQ5 導出された積分方程式は、高次元または有限時間枠組みの設定において、最適停止境界を近似可能に数値的に解けるか？

主な発見

• 多変数最適投資問題の最適停止境界は、価値関数のリース表現から導かれた積分方程式の唯一の解として特徴付けられる。
• アメリカン・プット・オプション行使境界に関する導出された積分方程式は、既存の文献に見られる古典的式と一致し、一貫性を確認する。
• 積分方程式の解の一意性は、リース表現における表現測度の一意性に基づき証明され、局所時間の議論に依存しない新たな解析的証明を提供する。
• 価値関数は継続領域の内部で $ C^1 $ であり、境界上でも微分可能であることが示され、凸性が滑らかさを保証する。
• 本手法は、閉形式解が得られない高次元設定においても、数値的に実行可能なアプローチを提供する。
• 空間時間過程を2次元の拡散過程として扱うことで、本手法は無限時間枠組みに限らず、有限時間問題に対しても適用可能であることを示している。