[論文レビュー] Riesz-Schwartz extensive quantities and vector-valued integration in closed categories

Rory B. B. Lucyshyn-Wright|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 32被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、モノイダルおよび豊饗圏論を用いて関数解析の抽象的公理的枠組みを構築し、閉圏におけるリース＝シュワーツの広義量およびベクトル値積分を導入する。抽象的分布によるベクトル積分がペッティス型とバーキー型の定式化において一致することを確立し、豊饗直交性を用いて完備性を定義し、抽象積分に関してファビニ型定理を証明する。カテゴリー的双対性およびモナド理論を通じて、関数解析の主要概念を統一的に扱う。

ABSTRACT

We develop aspects of functional analysis in an abstract axiomatic setting, through monoidal and enriched category theory. We work in a given closed category, whose objects we call spaces, and we study R-module objects therein (or algebras of a commutative monad), which we call linear spaces. Building on ideas of Lawvere and Kock, we study functionals on the space of scalar-valued maps, including compactly-supported Radon measures and Schwartz distributions. We develop an abstract theory of vector-valued integration with respect to these scalar functionals and their relatives. We study three axiomatic approaches to vector integration, including an abstract Pettis-type integral, showing that all are encompassed by an axiomatization via monads and that all coincide in suitable contexts. We study the relation of this vector integration to relative notions of completeness in linear spaces. One such notion of completeness, defined via enriched orthogonality, determines a symmetric monoidal closed reflective subcategory consisting of exactly those separated linear spaces that support the vector integral. We prove Fubini-type theorems for the vector integral. Further, we develop aspects of several supporting topics in category theory, including enriched orthogonality and factorization systems, enriched associated idempotent monads and adjoint factorization, symmetric monoidal adjunctions and commutative monads, and enriched commutative algebraic theories.

研究の動機と目的

• 関数解析の概念（例：ラドン測度、分布、ベクトル値積分）を圏論を用いた抽象的公理的枠組みで一般化すること。
• 閉圏におけるモナド的記述を用いて、異なるタイプのベクトル値積分（例：ペッティス型およびバーキー型）を統一すること。
• 豊饗直交性を用いて線形空間の完備性を定義し、分布的に完備な空間の反映的部分圏を同定すること。
• 抽象的ベクトル積分に関してファビニ型定理を確立し、古典的結果をカテゴリカルな設定に一般化すること。
• 双対性およびモナド的構造を強調することで、普遍性と一般性に立脚した関数解析の基盤を提供すること。

提案手法

• 本稿は、豊饗圏論を用いて、閉圏におけるR-加群対象として線形空間を定義し、ベクトル空間を一般化する。
• 二重双対化およびモナド的構成を用いて、自然かつアクセス可能な分布の概念を導入し、シュワーツ分布およびラドン測度を一般化する。
• 分布モナドが誘導する自然な準同型を用いて、ベクトル値積分を形式化し、積分を普遍的性質によって定義する。
• 豊饗直交性を用いて完備性を公理化し、分離的かつ分布的に完備な線形空間の反映的部分圏を導く。
• 対称モノイダル閉随伴と可換モナドを用いて、積分および双対性と整合性を保証する。
• ファビニ型定理は、モナド代数、随伴および豊饗因子化系の相互作用を分析することで証明される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ペッティス型およびバーキー型積分を統一する一般的なカテゴリカルな設定において、どのようにしてベクトル値積分を公理化できるか？
• RQ2 線形空間が抽象的分布を介して適切に振る舞うベクトル積分を許容するためのカテゴリカルな条件は何か？
• RQ3 豊饗直交性は、抽象積分を許容する空間を特徴付ける完備性の概念をどのように生み出すか？
• RQ4 双対性およびモナド構造から、ラドン測度およびシュワーツ分布を一般化する抽象的分布は、どのように自然に生じるか？
• RQ5 この抽象的設定において、ファビニ型定理はどの程度成立し、豊饗圏論を用いてどのように証明されるか？

主な発見

• 線形空間が分布的に完備である限り、抽象的ベクトル積分はペッティス型およびバーキー型の定式化において一致する。
• 線形空間がベクトル積分を許容するための必要十分条件は、それが分離的であり、豊饗直交性によって定義される反映的部分圏に属することである。
• $\tfrac{\tilde{\text{D}}}{\text{D}}$-ペッティス線形空間の圏は、その下位線形空間が分離的である$\tfrac{\tilde{\text{D}}}{\text{D}}$-代数の圏に同値である。
• 抽象的ベクトル積分に関してファビニ型定理が成り立ち、自然性およびモナド構造の可換性を用いて証明される。
• 分布モナドが可換かつイデムポテンであることが示され、対称モノイダル閉構造と整合性を保つ。
• 自然な分布モナドを介した線形空間の二重双対への埋め込みは、全単射かつ忠実な関手をもたらし、関数的完備性を確立する。