[論文レビュー] Riesz transform associated with the fractional Fourier transform and applications in image edge detection

Zunwei Fu, Loukas Grafakos+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2021

Mathematical Analysis and Transform Methods被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、分数フーリエ変換（FRFT）を介して、古典的リーマン変換の一般化としての分数リーマン変換を導入し、画像における方向性エッジ検出を可能にしている。分数順序パラメータを制御することにより、同時に振幅、位相、方向性情報を抽出でき、FRFTに基づく高速アルゴリズムにより計算が効率的であり、Lenaなどのテスト画像における多方向エッジ検出において優れた性能を示している。

ABSTRACT

The fractional Hilbert transform was introduced by Zayed [30, Zayed, 1998] and has been widely used in signal processing. In view of is connection with the fractional Fourier transform, Chen, the first, second and fourth authors of this paper in [6, Chen et al., 2021] studied the fractional Hilbert transform and other fractional multiplier operators on the real line. The present paper is concerned with a natural extension of the fractional Hilbert transform to higher dimensions: this extension is the fractional Riesz transform which is defined by multiplication which a suitable chirp function on the fractional Fourier transform side. In addition to a thorough study of the fractional Riesz transforms, in this work we also investigate the boundedness of singular integral operators with chirp functions on rotation invariant spaces, chirp Hardy spaces and their relation to chirp BMO spaces, as well as applications of the theory of fractional multipliers in partial differential equations. Through numerical simulation, we provide physical and geometric interpretations of high-dimensional fractional multipliers. Finally, we present an application of the fractional Riesz transforms in edge detection which verifies a hypothesis insinuated in [26, Xu et al., 2016]. In fact our numerical implementation confirms that amplitude, phase, and direction information can be simultaneously extracted by controlling the order of the fractional Riesz transform.

研究の動機と目的

• 分数フーリエ変換を用いて、ハイブリッド変換を高次元に拡張し、分数リーマン変換を導出すること。
• チープ特異積分作用素、チープハーディー空間、チープBMO空間の理論的枠組みを確立すること。
• FRFTと分数乗数定理を活用して、計算効率の良いエッジ検出アルゴリズムを開発すること。
• 分数順序を制御することで、画像処理において振幅、位相、方向性特徴を同時に抽出可能であるという仮説を検証すること。
• シミュレーションを通じて、高次元分数乗数の数値的・幾何的解釈を提供すること。

提案手法

• 分数リーマン変換は、分数フーリエ変換領域におけるチープ関数による乗算によって定義され、古典的リーマン変換の一般化を実現する。
• 理論的分析では、分数乗数定理を用いて、変換をFRFT、乗数、逆FRFTの合成として表現し、高速計算を可能にする。
• 回転不変空間、チープハーディー空間、およびその双対空間上でチープ特異積分作用素を研究し、調和解析的手法を用いて有界性を確立する。
• エッジ検出は式(6.3)および(6.4)を用いて実装され、直接積分(6.1)および(6.2)と比較して計算複雑度が低減される。
• 数値シミュレーションでは、Lena画像を用い、しきい値によるバイナリ化を施して、さまざまな分数順序における方向性エッジ抽出を強調する。
• 本手法は、分数順序(α₁, α₂)を動的に調整することで、横方向、縦方向、主対角線、反対角線方向の特徴を抽出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数フーリエ変換を用いて、分数ヒルベルト変換を高次元に自然に拡張し、分数リーマン変換を構築できるか？
• RQ2 チープ特異積分作用素はチープハーディー空間およびその双対空間上でどのように振る舞い、どのような有界性を示すか？
• RQ3 分数順序パラメータを調整することで、分数リーマン変換が画像から振幅、位相、方向性特徴を効率的に抽出できるか？
• RQ4 直接積分と比較して、FRFTに基づく合成による分数リーマン変換の表現が示す計算上の利点は何か？
• RQ5 数値的実装により、分数順序を制御することで方向性エッジ特徴を選択的に抽出できるか、確認できるか？

主な発見

• 分数リーマン変換は、分数順序パラメータα₁およびα₂を調整することにより、画像から同時に振幅、位相、方向性情報を抽出可能である。
• α₁ = π/2でα₂を変化させると、横方向（上下）の特徴が抽出され、方向性に対する感受性が確認される。
• α₂ = π/2でα₁を変化させると、縦方向（左右）の特徴が選択的に抽出され、方向性制御の有効性が裏付けられる。
• α₁およびα₂をπ/2から同時に増加または減少させることで、主対角線および反対角線方向の特徴が抽出される。
• FRFTに基づく定式化(6.3)および(6.4)は、直接積分(6.1)および(6.2)と比較して計算複雑度を低減し、より高速なエッジ検出を可能にする。
• Lena画像における数値結果から、方向性チューニングによりエッジ検出性能が向上することが確認され、Xuら（2016）の仮説が妥当であることが裏付けられる。