[論文レビュー] Riesz transform via heat kernel and harmonic functions on non-compact manifolds

Renjin Jiang|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 46被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、体積倍加条件、ガウス型熱核上界、およびコンパクト集合外部での $L^2$-Poincaré 不等式を満たす非コンパクトリーマン多様体上で、リーマン変換 ($R_p$) の $L^p$-有界性、熱セミ群の勾配 ($G_p$)、調和関数における逆 Hölder 不等式 ($RH_p$) の3つが同値であることを確立する。$p \in (2,n)$ に対して、同値性は開区間性質とグルーピング操作における安定性を示し、多次元ユークリッド的エンドをもつ多様体における反例により最適性が示される。

ABSTRACT

Let $M$ be a complete non-compact manifold satisfying the volume doubling condition, with doubling index $N$ and reverse doubling index $n$, $n\le N$, both for large balls. Assume a Gaussian upper bound for the heat kernel, and an $L^2$-Poincaré inequality outside a compact set. If $22$ on manifolds having at least two Euclidean ends of dimension $n$. For $p\in (\max\{N,2\},\infty)$, the fact that $(R_p)$, $(G_p)$ and $(RH_p)$ are equivalent essentially follows from [22]; moreover, if $M$ is non-parabolic, then any of these conditions implies that $M$ has only one end. For the proof, we develop a new criteria for boundedness of the Riesz transform, which was nontrivially adapted from [4], and make an essential application of results from [22]. Our result allows extensions to non-smooth settings.

研究の動機と目的

• 非コンパクト多様体上でのリーマン変換の $L^p$-有界性を、幾何的・解析的条件下で特徴づけること。
• 既知の $R_p$ と $G_p$ の同値性を、$L^2$-Poincaré の仮定を超えて、特に $p \in (2,n)$ の範囲に拡張すること。
• $R_p$ がグルーピング操作に対して安定であり、$p \in (2,n)$ の範囲で開区間性質を有することを示すこと。
• 複数のユークリッド的エンドをもつ多様体上で反例を構成することにより、結果の最適性を証明すること。
• 非滑らかメトリック測度空間および一様楕円型作用素への枠組みの拡張を行うこと。

提案手法

• Auscher らの先行研究 [5] から非自明に適合させた、リーマン変換の有界性に関する新規基準を開発する。
• 熱核のガウス型上界と体積倍加条件を用いて、$L^p$ 空間におけるリーマン変換の挙動を制御する。
• 文献 [23] の熱核推定および勾配評価の結果を応用し、スペクトル理論を介して $G_p$ と $R_p$ を関連付ける。
• $R_p$ と $G_p$ の同値性を示すための中間的条件として、調和関数の勾配における逆 Hölder 不等式 ($RH_p$) を確立する。
• 倍加指数 $N$ と逆倍加指数 $n$ を用いて、同値性が成立する範囲 $p \in (2,n)$ を定義する。
• グルーピング技術を適用し、同値性を用いて合成多様体上での有界性を示すことにより、$R_p$ の多様体構成における安定性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 体積倍加およびガウス型熱核上界を満たす非コンパクト多様体上で、$L^2$-Poincaré 不等式より弱い幾何的仮定のもとで、熱セミ群勾配の $L^p$-有界性 ($G_p$) が $p > 2$ のときリーマン変換の $L^p$-有界性 ($R_p$) を含意するか。
• RQ2 体積倍加およびガウス型熱核上界を満たす非コンパクト多様体上で、$p \in (2,n)$ の範囲で $R_p$、$G_p$、$RH_p$ の3条件が同値であるか。
• RQ3 複数のユークリッド的エンドをもつ多様体上での $R_p$ が成立する $p$ の鋭い範囲は何か。また、この範囲は最適か。
• RQ4 $R_p$、$G_p$、$RH_p$ の同値性は、非滑らかメトリック測度空間やより一般の楕円型作用素へ拡張可能か。
• RQ5 多様体のグルーピング操作におけるリーマン変換の挙動はいかなるものか。また、同値性は $R_p$ のグルーピングにおける安定性を含意するか。

主な発見

• $p \in (2,n)$ の範囲で、体積倍加、ガウス型熱核上界、およびコンパクト集合外部での $L^2$-Poincaré 不等式を満たす完備非コンパクト多様体上では、$R_p$、$G_p$、$RH_p$ の3条件が同値である。
• $R_p$ 条件には開区間性質がある：ある $p \in (2,n)$ で $R_p$ が成立するならば、$n$ より小さい近傍のすべての $p$ で $R_p$ が成立する。これは小さな摂動に対しても安定であることを示唆する。
• 同値性により、$R_p$ はグルーピング操作に対して安定である：各成分多様体で $R_p$ が成立するならば、グルーピング後の多様体でも $R_p$ が成立する。
• 結果は最適である：次元 $n \geq 3$ の少なくとも2つのユークリッド的エンドをもつ多様体上では、すべての $p \geq n$ で $R_p$ が成立しない。これにより、$p \in (2,n)$ の範囲が鋭いことが示される。
• $p \in (\max\{N,2\}, \infty)$ の範囲では、[23] の先行結果から $R_p$、$G_p$、$RH_p$ の同値性が従い、多様体が非抛物的であれば、これらの条件のいずれかが成り立つと、多様体が唯一のエンドしか持たないことが示される。
• この枠組みは、ディリクレ型メトリック測度空間や発散型の一様楕円型作用素へも、定理 5.1 および定理 5.3 を用いて拡張可能である。