[論文レビュー] Right Amenable Left Group Sets and the Tarski-Følner Theorem

Simon Wacker|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2016

Cellular Automata and Applications参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、有限安定化群をもつ左同次空間に対して右アメニタリティ、右フォルナー網、右パラドックス的分解を導入し、この文脈でターリー＝フォルナーの定理を証明する。すなわち、右アメニタリティ、右フォルナー網の存在、右パラドックス的分解の不在は同値である。この枠組みは、群の要素によって誘導される座標系と半作用を通じて、古典的なアメニタリティ理論を群の作用による同次空間へと拡張する。

ABSTRACT

We introduce right amenability, right Følner nets, and right paradoxical decompositions for left homogeneous spaces and prove the Tarski-Følner theorem for left homogeneous spaces with finite stabilisers. It states that right amenability, the existence of right Følner nets, and the non-existence of right paradoxical decompositions are equivalent.

研究の動機と目的

• 群から同次空間への古典的アメニタリティの概念を拡張し、特に群の右不変な類似物としての右アメニタリティを定義すること。
• 座標系と群の要素を用いて、左同次空間上に右半作用を定義し、群における右乗法の一般化を行うこと。
• 右フォルナー網と右パラドックス的分解を定義し、群の作用による同次空間における右アメニタリティを特徴付けるための道具とする。
• 有限安定化群をもつ左同次空間に対してターリー＝フォルナーの定理を証明し、右アメニタリティ、右フォルナー網の存在、右パラドックス的分解の不在の同値性を示すこと。
• 有限空間、アーベル群、指数的成長より小さい生成元をもつ群などの右アメニタリティの十分条件を提示すること。

提案手法

• 基点 $ m_0 \notin M $ と、各 $ m \notin M $ に対して $ g_{m_0,m} \triangleright m_0 = m $ を満たす族 $ \{g_{m_0,m}\}_{m \notin M} $ を選んで、$ M $ 上に右半作用 $ \triangleright $ を定義し、$ G/G_0 $-作用を $ G_0 $ の欠損を伴って誘導する。
• 右半作用 $ \triangleright $ に対して、$ \text{P}(M) $ 上で右不変な有限加法的確率測度の存在として右アメニタリティを定義する。
• 右半作用に関して漸近的に不変である有限かつ非空な $ M $ の部分集合のネットとして、右フォルナー網を定義する。
• 写像 $ x \mapsto x \triangleright e $ が $ A_e $ および $ B_e $ 上で単射であり、かつ像が $ M $ を被覆するような有限集合 $ E \times M $ の分割 $ \{A_e\}, \{B_e\} $ をもつ右パラドックス的分解を定義する。
• 右フォルナー網の存在によりパラドックス的分解が排除され、逆にその不在により右フォルナー網の存在が示されることで、ターリー＝フォルナーの定理における同値性を確立する。
• 具体的な例（例えば、ユークリッド群 $ E $ による $ \text{Euclidean space } \mathbb{R}^d $ の作用）に理論を適用し、移動群 $ T $ のアーベル性を用いて右アメニタリティを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群の作用を座標系によって誘導される半作用に置き換えた場合、有限安定化群をもつ左同次空間に対して、古典的ターリー＝フォルナーの定理を一般化できるか？
• RQ2 自然な右作用が存在しない状況において、左同次空間に対して適切な「右アメニタリティ」の概念は何か？
• RQ3 群の作用による同次空間の文脈において、右フォルナー網と右パラドックス的分解はどのように関係しているか？
• RQ4 有限安定化群をもつ左同次空間が、成長の種類や代数的構造と関連して右アメニタリティをもつのはどのような条件下か？
• RQ5 移動群 $ T \to \mathbb{R}^d $ のアメニタリティは、$ E $ の作用下でのユークリッド空間全体の右アメニタリティを示唆できるか？

主な発見

• 有限安定化群をもつ左同次空間において、右アメニタリティ、右フォルナー網の存在、右パラドックス的分解の不在は同値である。
• 有限左同次空間、アーベル群、指数的成長より小さい生成元をもつ群は、特に有限部分群による商への左乗法による作用の下で右アメニタリティをもつ。
• 座標系 $ (m_0, \{g_{m_0,m}\}) $ をもつセル空間 $ \mathcal{R} = (M, G, \triangleright) $ は、安定化群 $ G_0 $ が有限で、自由に作用する群 $ H $ がアーベルである場合には右アメニタリティをもつ。
• $ \mathbb{R}^d $ がユークリッド群 $ E $ の作用を受ける場合、移動部分群 $ T \cong \mathbb{R}^d $ はアーベル的であり、従って左アメニタリティをもつため、全セル空間は右アメニタリティをもつ。
• 右半作用は基点と、基点を任意の点に写す群要素の選択によって構成され、$ G/G_0 $ の作用の誘導により右不変測度を定義できる。
• 証明は、右フォルナー網が存在するならば右パラドックス的分解は存在せず、逆にその不在が右フォルナー網の存在を示唆することに依拠しており、これにより同値性が完成する。