[論文レビュー] Right and Left Joint System Representation of a Rational Matrix Function in General Position (System Representation Theory for Dummies)

Victor Katsnelson|ArXiv.org|Jun 12, 2007

Matrix Theory and Algorithms参考文献 28被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、一般位置に置かれた有理的行列関数のための、新たな連携右および左系表現を提示する。極行列と零点行列に加え、半残留行列を用いて二変数関数 $ R(x)R^{-1}(y) $ および $ R^{-1}(x)R(y) $ を表現する。主な貢献は、相互に逆行列であるカップリング行列 $ S^r $ と $ S^l $ を含む、Sylvester-Lyapunov方程式による明示的実現の導出であり、これによりスペクトル因子分解および変形理論のための新たな枠組みが提供される。

ABSTRACT

For a rational matrix function R of one variable in general position, the matrix functions R(x)/R(y) and R(y)\R(x) of two variables are considered. For these matrix functions of two variables, representations which are analogous to the system representations (or realizations) of a rational matrix function of one variable are constructed. This representation is called the joint right [the joint left] system representation.

研究の動機と目的

• 一般位置に置かれた有理的行列関数のための新しい系表現理論を構築し、スカラー有理関数の因子分解を行列の場合に拡張すること。
• 単一変数有理関数の標準的系実現に類似した、二変数行列関数 $ R(x)R^{-1}(y) $ および $ R^{-1}(x)R(y) $ の明示的実現を構築すること。
• 極行列と零点行列、半残留行列、およびカップリング行列 $ S^r $ と $ S^l $ を用いた右および左連携系表現の導入と分析。
• カップリング行列 $ S^r $ と $ S^l $ の相互逆行列性 $ S^r S^l = S^l S^r = I $ を通じた右および左表現の双対性の確立を図り、構造的対称性を強調すること。
• Fuchs型系の変形理論および有理的行列関数のスペクトル（Wiener-Hopf）因子分解への応用のための基盤を提供すること。

提案手法

• 極行列 $ A_{/cal P} $、$ A_{/cal N} $ および半残留行列 $ F_{/cal P}, G_{/cal P}, F_{/cal N}, G_{/cal N} $ を用いて、$ R(z) $ および $ R^{-1}(z) $ の加法的分解を構築する。
• 連携右系表現は $ R(x)R^{-1}(y) = I + (x-y)F_{/cal P}(xI - A_{/cal P})^{-1}(S^r)^{-1}(yI - A_{/cal N})^{-1}G_{/cal N} $ として導出され、$ S^r $ はSylvester-Lyapunov方程式を満たす。
• 連携左系表現は $ R^{-1}(x)R(y) = I + (x-y)F_{/cal N}(xI - A_{/cal N})^{-1}(S^l)^{-1}(yI - A_{/cal P})^{-1}G_{/cal P} $ として与えられ、$ S^l $ は双対Sylvester-Lyapunov方程式を満たす。
• カップリング行列 $ S^r $ と $ S^l $ は、基礎となる系方程式から導かれる恒等式 $ S^r S^l = S^l S^r = I $ を通じて、互いに逆行列であることが示される。
• 古典的実現理論に依拠するが、特に零点・極のカップリングの文脈において、右および左表現の双対性に新たな焦点を当てる。
• この枠組みはスペクトル因子分解に応用され、系表現から明示的な公式が導出され、Sakhnovich、Gohberg、Livšic の既知の結果と関連づけられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二変数行列関数 $ R(x)R^{-1}(y) $ および $ R^{-1}(x)R(y) $ は、標準的有理関数実現に類似した、システム理論的形でどのように表現できるか？
• RQ2 極行列 $ A_{/cal P} $、$ A_{/cal N} $ および半残留行列 $ F_{/cal P}, G_{/cal P}, F_{/cal N}, G_{/cal N} $ は、連携系表現を構築する上で果たす役割は何か？
• RQ3 右および左カップリング行列 $ S^r $ と $ S^l $ はどのように定義され、有理的行列関数の文脈においてそれらの構造的関係は何か？
• RQ4 連携系表現を用いて、有理的行列関数のスペクトル（Wiener-Hopf）因子分解の明示的公式を導出できるか？
• RQ5 相互逆行列性 $ S^r S^l = S^l S^r = I $ の意義は何か？ そして、これにより右および左表現の双対性がどのように反映されるか？

主な発見

• 連携右系表現 $ R(x)R^{-1}(y) $ は明示的に $ I + (x-y)F_{/cal P}(xI - A_{/cal P})^{-1}(S^r)^{-1}(yI - A_{/cal N})^{-1}G_{/cal N} $ として構築され、$ S^r $ はSylvester-Lyapunov方程式を満たす。
• 連携左系表現 $ R^{-1}(x)R(y) $ は $ I + (x-y)F_{/cal N}(xI - A_{/cal N})^{-1}(S^l)^{-1}(yI - A_{/cal P})^{-1}G_{/cal P} $ として与えられ、$ S^l $ は双対方程式を満たす。
• カップリング行列 $ S^r $ と $ S^l $ は互いに逆行列であることが示された：$ S^r S^l = S^l S^r = I $、これにより右および左表現の整合性が保証される。
• 本手法は、既知の有理的行列関数実現に関する結果を、実現理論の先行知識を必要としない形で、新たな枠組みで自立的に導出する。特に双対性と構造的対称性に焦点を当てる。
• この枠組みは、カップリング行列を介して因子を表現することにより、有理的行列関数のスペクトル因子分解を支援する。明示的な公式は系表現から導出される。
• 本稿は、系表現と古典的モーメント問題および構造的行列逆行列の理論との関連を確立し、Livšic および Sakhnovich が理論の発展において果たした基盤的役割を強調している。