[論文レビュー] Right-angled Artin groups and Out(F_n) I: quasi-isometric embeddings

Samuel J. Taylor|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 24被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、写像類群理論の技術を適応することで、右側アーティン群（RAAGs）を自由群の外部自己同型群 Out(F_n) に準等長埋め込みする。適切に選ばれた自由因子上に支持される外部自己同型と、自由因子複体への射影を制御することにより、RAAG が Out(F_n) に準等長埋め込まれ、さらに外空間への軌道写像も準等長埋め込みであることを証明した。これは、表面写像類群における結果を自由群の外部自己同型論へ拡張するものである。

ABSTRACT

We construct quasi-isometric embeddings from right-angled Artin groups into the outer automorphism group of a free group. These homomorphisms are in analogy with those constructed in \cite{CLM}, where the target group is the mapping class group of a surface. Toward this goal, we develop tools in the free group setting that mirror those for surface groups as well as discuss various analogs of subsurface projection; these may be of independent interest.

研究の動機と目的

• 写像類群から Out(F_n) への CLM12 の準等長埋め込み結果の拡張を図ること。
• 表面群理論で用いられる部分面への射影に類似した、自由群設定における新しい射影ツールの開発。
• 自由因子上に支持される外部自己同型が、Out(F_n) 内で RAAG を準等長埋め込みする条件を確立すること。
• RAAG から外空間への軌道写像が、写像類群の場合と同様に、自身が準等長埋め込みであることを証明すること。

提案手法

• 著者らは、表面の場合の互いに素なまたは重複する部分面に類似した、F_n 内の「適切な自由因子の集合」を定義し、埋め込みの幾何を制御する。
• 生成元が十分に独立した運動を示すように、支持する自由因子の自由因子複体上で大きな移動長を持つ外部自己同型を構成する。
• Bestvina-Feighn および SS12 の射影が、可換な自己同型の存在により不十分であるため、それらに代わる新しい射影系を考案する。
• RAAG の語の語句の順序を部分順序で制御することで、自由因子複体における距離の蓄積順序を制御する。
• 折りたたみパスを用いてリプシッツ制御を確立し、各自由因子への射影が顕著な進捗を示す区間を定義する。
• 鍵となる技術的ステップでは、Lemma 10.2 の修正版を用いて、語長さを外空間距離の関数として有界化し、射影制御から得られる一様定数に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 右側アーティン群は、写像類群における既知の結果を模倣して、Out(F_n) に準等長埋め込み可能か？
• RQ2 自由群設定において、可換な自己同型の独立した運動を検出できる十分に感度の高い、部分面射影の類似物は何か？
• RQ3 非互いに素でない自由因子の自由因子複体への射影を考慮する際、外空間における折りたたみパスの幾何をどのように制御できるか？
• RQ4 自由因子と自己同型にどのような条件を課すと、RAAG から Out(F_n) への誘導写像が準等長埋め込みとなるか？
• RQ5 同じ条件下で、RAAG から外空間への軌道写像自体が準等長埋め込みであるか？

主な発見

• 任意の右側アーティン群 A(Γ) が、自由因子複体上で大きな移動長を持つ外部自己同型を選んで、ある n に対して Out(F_n) に準等長埋め込みされることが構成された。
• A(Γ) から外空間 X_n への軌道写像は、準等長埋め込みである。これは、RAAG 内の語長さが X_n 内の距離と粗く等価であることを意味する。
• 既存の射影（例：Bestvina-Feighn および SS12）の制限を克服する新しい射影系が開発され、可換な自己同型の制御が可能になった。
• 語句順序の議論と射影制御を用いて、語長さを外空間距離の下界として確立し、一様な準等長定数が得られた。
• 最終的な準等長埋め込みの定数 L は n のみに依存し、L = max{8 + 2D, L′e^{D′}} と表される。ここで D および D′ は自由因子複体の幾何から得られる幾何定数である。
• この結果は、CLM12 の写像類群における構成を Out(F_n) に一般化し、幾何群論における両設定間の根本的な類似性を確立した。