[論文レビュー] Right-angularity, flag complexes, asphericity. \ Criteria for asphericity: corrigenda for "Right-angularity, flag complexes, asphericity"

Michael W. Davis|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、単体的複体と空間の対に関する多面体的積の非球面的性の基準を修正・精錬する。体に基づくアセイクロニシティの仮定の下で、各$A(i)$が非球面的であること、特定の対がほぼ非球面的であること、$L^\prime$がフラッグ複体であること、$L^\prime$が直積として分解されることを要請する必要十分条件を確立し、右代数的ビルディングやモーメント・アングル複体に関する先行研究の欠落を解消する。

ABSTRACT

The "polyhedral product functor" produces a space from a simplicial complex L and a collection of pairs of spaces, {(A(i),B(i))}, where i ranges over the vertex set of L. We give necessary and sufficient conditions for the resulting space to be aspherical. There are two similar constructions, each of which starts with a space X and a collection of subspaces, {X_i} and then produces a new space. We give conditions for the results of these constructions to be aspherical. All three techniques can be used to produce examples of closed aspherical manifolds. Abstract for Corrigenda: This note concerns two refinements to the earlier work by the first author. First, when L is infinite, the definition of polyhedral product needs clarification. Second, the earlier paper omitted some subtle parts of the necessary and sufficient conditions for polyhedral products to be aspherical. Correct versions of these necessary and sufficient conditions are given in the present paper.

研究の動機と目的

• 無限大の単体的複体$L$をもつとき、多面体的積の定義を修正・明確化すること。
• 元の非球面的性基準に欠落または暗黙の仮定が存在するのを特定し、是正すること。
• 体に基づくアセイクロニシティ仮定の下で、$\mathbf{A}^L$の非球面的性の完全な必要十分条件を提供すること。
• 基本群の単射性や$\widetilde{B}(i)$のアセイクロニシティに関する誤った仮定によって、以前の結果が失敗する状況を解消すること。
• モーメント・アングル複体や右代数的ビルディングに関する結果を、無限大複体および非コネクテッドな基本対へと一般化すること。

提案手法

• 多面体的積$\mathbf{A}^L$を、$\prod_{i\in I} A(i)$の部分空間として定義し、(I) 有限個の非基点座標、(II) 支持が$L$における単体をなす、という条件を課す。
• $L$が無限大のとき、$\mathbf{A}^L$に有限部分複体上のコロイミット位相を導入する。
• $I^{\prime\prime}$, $I_1$, $I_2$, および$I^\prime = I_2 \cup I^{\prime\prime}$を導入し、$L^\prime = \langle I^\prime \rangle$を定義して、重要な成分を分離する。
• 体に基づくアセイクロニシティ仮定$(*)$を用いて、多面体的積の普遍被覆における滑らかなホモロジー的性質を保証する。
• スミッシュ積の普遍被覆$\widetilde{B}(i)$を用いたホモロジー的基準を適用し、[1, Thm. 2.21]の公式を活用して非自明なホモロジーを検出する。
• $\widetilde{\mathbf{A}}^L$が$\widetilde{\mathbf{A}}^{L^\prime}$とホモトピー同値であることを示し、直積分解とアセイクロニシティにより$\widetilde{\mathbf{A}}^{L^\prime}$が非球面的であることを示すことで、$\widetilde{\mathbf{A}}^L$が非球面的であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $L$が無限大のとき、多面体的積$\mathbf{A}^L$が非球面的であるための必要十分条件は何か？
• RQ2 基本群の単射性の欠落や$\widetilde{B}(i)$のアセイクロニシティの欠落が、$\mathbf{A}^L$の非球面的性に与える影響は何か？
• RQ3 仮定(a)および(b)が満たされない場合、[4, Theorem 2.22]の以前の基準はどのように修正されるべきか？
• RQ4 $L^\prime = \langle I_2 \rangle * L^{\prime\prime}$の分解は、$\mathbf{A}^L$の非球面的性とどのように関係するか？
• RQ5 非コネクテッドな$B(i)$であっても、$\mathbf{A}^L$の普遍被覆が非球面的のままである条件は何か？

主な発見

• 非球面的性の修正基準は、各$A(i)$が非球面的であること、および、$L^\prime$においてコネル型でない各$i \in I^\prime$に対して、対$(A(i), B(i))$が非球面的であることが必要である。
• $L^\prime$はフラッグ複体でなければならないし、$\langle I_2 \rangle * L^{\prime\prime}$という形に直積として分解されなければならない。ここで$I_2$は、体$\mathbb{F}$上で非アセイクロニックな$\widetilde{B}(i)$を添え字づける。
• $I^{\prime\prime}$は、$|E_i| \neq 1$である頂点を添え字づける集合であり、$L^{\prime\prime}$が非自明な基本群の寄与を捉えることを保証する。
• $\widetilde{\mathbf{A}}^L$が$\widetilde{\mathbf{A}}^{L^\prime}$とホモトピー同値であることを示し、直積構造とアセイクロニシティにより$\widetilde{\mathbf{A}}^{L^\prime}$が非球面的であることを示すことで、$\widetilde{\mathbf{A}}^L$が非球面的であることが示された。
• 普遍被覆のホモロジーは、$\widetilde{B}(i)$のスミッシュ積を用いて非自明性を検出する。$k$次元でホモロジーが消えないことは、空の$k$次元単体の存在を意味し、非球面的性に矛盾する。
• 体に基づく仮定$(*)$により、$I_1 \cup I_2$が$I - I^{\prime\prime}$を分割することが保証され、これはホモロジー的議論および最終結論に不可欠である。