[論文レビュー] Right coideal subalgebras in U^+_q(so_{2n+1})

V. K. Kharchenko|ArXiv.org|Aug 28, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、量子群 $U_q^+(\frak{so}_{2n+1})$ の正部分において、余核を含む右コイデアル部分代数を完全に分類し、このような部分代数と整数列 $(\theta_1, \dots, \theta_n)$ の間の自然な全単射を確立する。ここで $0 \leq \theta_k \leq 2n - 2k + 1$ である。主な結果として、このような部分代数はちょうど $(2n)!!$ 個存在し、これは $B_n$ 型のワイル群の位数に一致する。この分類は、$q^t = 1$ かつ $t > 4$ のとき、小ルシュチグ量子群に対しても拡張可能である。分類の根拠は、PBW生成子と、群的元および構造定数を用いた斜根ベクトルのコプロダクト公式に基づく。

ABSTRACT

We give a complete classification of right coideal subalgebras that contain all group-like elements for the quantum group $U_q^+(\frak{so}_{2n+1}),$ provided that $q$ is not a root of 1. If $q$ has a finite multiplicative order $t>4,$ this classification remains valid for homogeneous right coideal subalgebras of the small Lusztig quantum group $u_q^+(\frak{so}_{2n+1}).$ As a consequence, we determine that the total number of right coideal subalgebras that contain the coradical equals $(2n)!!,$ the order of the Weyl group defined by the root system of type $B_n.$

研究の動機と目的

• 量子群 $U_q^+(\frak{so}_{2n+1})$ のすべての右コイデアル部分代数を、群的元の張る空間（余核）を含むものとして分類すること。
• 量子群 $q$ の位数が有限で $t > 4$ のとき、小ルシュチグ量子群 $u_q^+(\frak{so}_{2n+1})$ の同次的右コイデアル部分代数へこの分類を拡張すること。
• このような部分代数と整数列 $\theta = (\theta_1, \dots, \theta_n)$ の間の全単射を確立すること。ただし $0 \leq \theta_k \leq 2n - 2k + 1$ である。
• このような部分代数の総数が $(2n)!!$ 個であることを示し、これは $B_n$ 型ワイル群の位数と一致することを示すこと。
• 群的元との交わりが全群でないが、部分群をなすような部分代数に対しても分類を一般化すること。

提案手法

• $U_q^+(\frak{so}_{2n+1})$ に対して、反復した量子括弧を用いて定義される斜根ベクトル $u[k,m]$ を用いて PBW基底を構成すること。
• これらの PBW生成子に対する明示的なコプロダクト公式を導出する：$\Delta(u[k,m]) = u[k,m] \otimes 1 + g_{km} \otimes u[k,m] + \sum_{i=k}^{m-1} \tau_i(1 - q^{-2}) g_{ki} u[i+1,m] \otimes u[k,i]$。ここで $\tau_n = q$ であり、それ以外は $\tau_i = 1$ である。
• 構造定数 $\alpha_{km}^s$ を含む再帰的関係を用いて、新しい PBW生成子 $\Phi^S(k,m)$ を定義し、コイデアル条件と整合性を持つようにすること。
• 構造 $\Phi^S(k,m)$ を制御し双対性の議論を可能にするために、$(k,m)$-正則集合 $S$ の概念を導入すること。
• コイデアル部分代数 $\bf U$ に対して、根列 $r({\bf U}) = (\theta_1, \dots, \theta_n)$ を定義する。ここで $\theta_k$ は、$\Phi^S(k,m) \in \bf U$ かつその次数が $\bf U$ 内の他の次数の和で表せないような最大の $m$ である。
• 再帰的定義による集合 $R_k$ と $T_k$ を用いて、列 $\theta$ から部分代数 $\bf U_\theta$ を構成し、$\bf U_\theta$ が余核を含む右コイデアル部分代数であることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $q$ が単位根でないとき、$U_q^+(\frak{so}_{2n+1})$ の右コイデアル部分代数のうち、余核を含むものはいくつ存在するか？
• RQ2 $q^t = 1$ かつ $t > 4$ のとき、小ルシュチグ量子群 $u_q^+(\frak{so}_{2n+1})$ に対しても、このような部分代数の分類を拡張できるか？
• RQ3 整数列 $\theta_k$ で $0 \leq \theta_k \leq 2n - 2k + 1$ を満たすものによる、このようなコイデアル部分代数の標準的パラメトライゼーションは存在するか？
• RQ4 なぜこのような部分代数の数が $(2n)!!$ 個になるのか、これは $B_n$ 型ワイル群の位数に一致する。その理由は何か？
• RQ5 群的元との交わりが部分群をなすが、必ずしも全群でないような同次的右コイデアル部分代数の構造はどのようなものか？

主な発見

• 右コイデアル部分代数 $U_q^+(\frak{so}_{2n+1})$ で余核を含むものの集合と、整数列 $\theta = (\theta_1, \dots, \theta_n)$ で $0 \leq \theta_k \leq 2n - 2k + 1$ を満たすものの間には自然な全単射が存在する。
• このような右コイデアル部分代数の総数は $(2n)!!$ 個であり、これは $B_n$ 型根系のワイル群の位数に一致する。
• 小ルシュチグ量子群 $u_q^+(\frak{so}_{2n+1})$ に対しても、$q^t = 1$ かつ $t > 4$ のとき、この分類は有効である。
• 各部分代数 $\bf U_\theta$ は、群的元と、$m \in R_k$ に対して $\Phi^{T_k}(k,m)$ によって生成される。ここで $R_k$ と $T_k$ は再帰的に定義された集合である。
• $U_q^+(\frak{so}_{2n+1})$ または $u_q^+(\frak{so}_{2n+1})$ の同次的右コイデアル部分代数 $\bf U$ で、$\bf U \cap G$ が部分群であるようなものに対しては、ある $\theta$ と部分群 $\Omega \subseteq G$ に対して $\bf U = k[\Omega] \cdot \bf U_\theta^1$ と書ける。
• $\bf U_\theta^1$ は同次的で、$g_{km}^{-1} \Phi^S(k,m)$ によって生成され、$\bf U_\theta^1 \cap G = \{1\}$ を満たすため、自明な部分群上での最小コイデアル部分代数である。