[論文レビュー] Rigid connections, $F$-isocrystals and integrality

Hélène Esnault, Michael Groechenig|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、特異的でない剛性を持つ平坦接続が、素数 $p$ が十分大きい場合の mod $p$ モデルを通じて $F$-isocrystal に引き上げられることを示すことにより、Simpson のモチビシティ予想の主要な側面を確認した。また、大きな $p$ に対して $p$-曲率が冪零であることを証明し、$p$-曲率が消える場合にはユニタリ性が成り立つことを示した。これらの結果により、Grothendieck–Katz の $p$-曲率予想の新たなケースが得られ、コhomologically rigid な $F$-isocrystal に対して完全な同伴対応が確立された。

ABSTRACT

An irreducible integrable connection $(E, abla)$ on a smooth projective complex variety $X$ is called rigid if it gives rise to an isolated point of the corresponding moduli space $\mathcal{M}_{dR}(X)$. According to Simpson's motivicity conjecture, irreducible rigid flat connections are of geometric origin, that is, arise as subquotients of a Gaus-Manin connection of a family of smooth projective varieties defined on an open dense subvariety of $X$. In this article we study mod $p$ reductions of irreducible rigid connections and establish results which confirm Simpson's prediction. In particular, for large $p$, we prove that $p$-curvatures of mod $p$ reductions of irreducible rigid flat connections are nilpotent, and building on this result, we construct an $F$-isocrystalline realization for {irreducible} rigid flat connections. More precisely, we prove that there exist smooth models $X_R$ and $(E_R, abla_R)$ of $X$ and $(E, abla)$, over a finite type ring $R$, such that for every Witt ring $W(k)$ of a finite field $k$ and every homomorphism $R o W(k)$, the $p$-adic completion of the base change $(\widehat{E}_{W(k)},\widehat{ abla}_{W(k)})$ on $\widehat{X}_{W(k)}$ represents an $F$-isocrystal. Subsequently we show that {irreducible} rigid flat connections with vanishing $p$-curvatures are unitary. This allows us to prove new cases of the Grothendieck--Katz $p$-curvature conjecture. We also prove the existence of a complete companion correspondence for $F$-isocrystals stemming from irreducible cohomologically rigid connections.

研究の動機と目的

• 特異的でない剛性を持つ平坦接続の幾何的起源に関する Simpson のモチビシティ予想の予測を検証すること。
• mod $p$ モデルを用いた特異的でない剛性を持つ平坦接続に対する $F$-isocrystalline 実現の存在を確立すること。
• $p$-曲率が消える特異的でない剛性を持つ平坦接続がユニタリであることを証明し、Grothendieck–Katz の $p$-曲率予想を支援すること。
• コホモロジカルに剛性を持つ接続から生じる $F$-isocrystal に対して完全な同伴対応を構成すること。

提案手法

• 複素数体上の滑らかで射影的な多様体上の特異的でない剛性接続の mod $p$ モデルを分析し、大きな素数 $p$ に注目する。
• 十分に大きな $p$ に対して、これらのモデルの $p$-曲率が冪零であることを証明する。
• 有限型環 $R$ 上に滑らかなモデル $X_R$ および $(E_R, \nabla_R)$ を構成し、$W(k)$ へのベースチェンジにより $p$-adic 完備化後に $F$-isocrystal が得られることを示す。
• $p$-曲率の冪零性を用いて、$p$-曲率が消える場合に特異的でない剛性接続がユニタリであることを導出する。
• $F$-isocrystal 及びその同伴の理論を応用し、コホモロジカルに剛性を持つ $F$-isocrystal に対して完全な同伴対応を確立する。
• $W(k)$ 上の接続の $p$-adic 完備化を活用し、ベースチェンジの形式的完備化上に $F$-isocrystal を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異的でない剛性を持つ平坦接続が、十分に大きな $p$ に対して mod $p$ モデルを通じて $F$-isocrystalline 実現を持つだろうか？
• RQ2 特異的でない剛性を持つ平坦接続の mod $p$ モデルの $p$-曲率は、大きな素数 $p$ に対して冪零であろうか？
• RQ3 特異的でない剛性を持つ平坦接続が $p$-曲率をもたない場合、どのような条件下でユニタリになるだろうか？
• RQ4 コホモロジカルに剛性を持つ接続から生じる $F$-isocrystal に対して完全な同伴対応を構築できるだろうか？
• RQ5 これらの結果は、Grothendieck–Katz の $p$-曲率予想の新たなケースを確認するだろうか？

主な発見

• 十分に大きな素数 $p$ に対して、特異的でない剛性を持つ平坦接続の mod $p$ モデルの $p$-曲率は冪零である。
• $p$-曲率が消える特異的でない剛性を持つ平坦接続はユニタリであり、これは Grothendieck–Katz の $p$-曲率予想の新たなケースを提供する。
• 有限型環 $R$ 上に滑らかなモデル $X_R$ および $(E_R, \nabla_R)$ が存在し、$W(k)$ へのベースチェンジにより $p$-adic 完備化後に $F$-isocrystal が得られる。
• $(E_R, \nabla_R)$ の $W(k)$ へのベースチェンジの $p$-adic 完備化は、任意の環準同型 $R \to W(k)$ に対して $\widehat{X}_{W(k)}$ 上の $F$-isocrystal を表す。
• コホモロジカルに剛性を持つ接続から生じる $F$-isocrystal に対して完全な同伴対応が存在する。
• $F$-isocrystalline 実現の構成により、$p$-adic 設定における Simpson のモチビシティ予想の主要な予測が確認された。