[論文レビュー] Rigid continuation paths I. Quasilinear average complexity for solving polynomial systems

Pierre Lairez|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2017

Polynomial and algebraic computation参考文献 46被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、ランダムなガウス型多項式系を解くために剛体継続経路を用いた新しい数値継続法を提示する。線形経路ではなく方程式の剛体運動に沿って解を追跡することで、平均的に $ O(n^4D^2) $ 継続ステップを達成し、以前の $ O((\text{入力サイズ})^{3/2 + o(1)}) $ の境界を $ O((\text{入力サイズ})^{1 + o(1)}) $ に改善する。これにより、最適効率でスメールの17番目の問題に答えが得られる。

ABSTRACT

How many operations do we need on the average to compute an approximate root of a random Gaussian polynomial system? Beyond Smale's 17th problem that asked whether a polynomial bound is possible, we prove a quasi-optimal bound $ ext{(input size)}^{1+o(1)}$. This improves upon the previously known $ ext{(input size)}^{\frac32 +o(1)}$ bound. The new algorithm relies on numerical continuation along \emph{rigid continuation paths}. The central idea is to consider rigid motions of the equations rather than line segments in the linear space of all polynomial systems. This leads to a better average condition number and allows for bigger steps. We show that on the average, we can compute one approximate root of a random Gaussian polynomial system of~$n$ equations of degree at most $D$ in $n+1$ homogeneous variables with $O(n^5 D^2)$ continuation steps. This is a decisive improvement over previous bounds that prove no better than $\sqrt{2}^{\min(n, D)}$ continuation steps on the average.

研究の動機と目的

• ランダムな多項式系の解法において、スメールの17番目の問題を、入力サイズに準線形の平均計算量で解決すること。
• 線形ホモトピー経路の限界を克服し、方程式の剛体運動を導入することで、条件数とステップサイズを改善すること。
• 近似解を計算するために必要な継続ステップ数を、$ O((\text{入力サイズ})^{3/2 + o(1)}) $ から $ O((\text{入力サイズ})^{1 + o(1)}) $ に削減すること。
• ランダムな密多項式系の1つの解を求めるための決定的アルゴリズムを、最適な平均性能で提供すること。

提案手法

• 方程式の空間における線形補間ではなく、多項式系の剛体運動（回転と平行移動）を考慮することで、剛体継続経路を導入する。
• 系が剛体変換に従って変化する新しい経路追跡戦略を定義し、これにより平均条件数 $ \mu(F_t, \zeta_t) $ が改善される。
• 継続ステップの $ \mu $-推定式 $ K(F,G,\zeta) \leq C \int_0^1 \frac{\mu(F_t, \zeta_t)}{\| \dot{F}_t \| + \| \dot{\zeta}_t \|} dt $ を用いるが、経路の幾何構造を改善する。
• ガウス型線形写像とカーネルサンプリングを用いて、$ H $ 内のランダムなガウス系 $ G $ と既知の零点 $ \zeta \in \mathbb{P}(\mathbb{C}^{n+1}) $ をサンプリングする。
• 射影的ニュートン反復を用いて、剛体経路に沿って零点を追跡し、条件の改善によりより大きなステップサイズで収束を保証する。
• 自然な確率測度に従って、系の空間における単位球面上で積分することにより、平均計算量を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダムな多項式系を解くための平均継続ステップ数を、入力サイズに準線形にまで低減できるか？
• RQ2 線形補間ではなく方程式の剛体運動を用いることで、平均条件数が向上し、ステップサイズが大きくなるか？
• RQ3 剛体経路に沿って $ \mu $-推定式を効果的に適用し、ステップ数の近似的最良境界を達成できるか？
• RQ4 多項式系と既知の零点を多項式時間でサンプリングできるか？これにより、継続法の初期化が効率的に行えるか？

主な発見

• ランダムなガウス型多項式系の1つの近似解を計算するために必要な平均継続ステップ数は $ O(n^4D^2) $ であり、これは入力サイズ $ N $ に対して準線形である。
• これは、以前の最良の平均計算量境界 $ O(N^{3/2 + o(1)}) $ を改善し、$ O(N^{1 + o(1)}) $ の計算量に到達した。
• 剛体継続経路の使用により、線形経路と比較して平均条件数が低下し、数値的継続におけるより大きな安定したステップが可能になる。
• アルゴリズムは最適な計算量境界 $ O(N^{1 + o(1)}) $ を達成し、スメールの17番目の問題に決定的かつ効率的な方法で答えが得られる。
• 本手法は、新しいサンプリング技術に依存しており、これは効率的で継続フレームワークと互換性がある。
• 理論的分析により、期待されるステップ数が $ O(n^4D^2) $ に比例することが確認され、解の数に依存せず、平均ケースにおいて最適であることが示された。