[論文レビュー] Rigid local systems and relative motives with Galois group G_2

Michael Dettweiler, Stefan Reiter|May 15, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、N. カッツのミドルコントビューション関手を用いて、例外的代数群 $G_2$ にモノドロミーがザリスキ密な剛性局所系を構成する。モチーフのモチーフ的ガロア群が $G_2$ 型であることを証明し、セールの問いに対する部分的解決を提供するとともに、エタールコホモロジーとタンナカ双対性を用いてグロテンディークの標準予想を支持する。

ABSTRACT

We classify rigid local systems of rank 7 whose monodromy group is dense in the simple algebraic group of type G2. This leads to motives with Galois group G2.

研究の動機と目的

• $\mathbb{P}^1 \setminus \{0,1,\infty\}$ 上にモノドロミー群が $G_2$ にザリスキ密である剛性局所系の存在を確立すること。
• このような剛性局所系が、ランク1の層に適用されたミドルコントビューション関手 $\mathrm{MC}_\chi$ から生じることを示すこと。
• グロテンディークの標準予想の下で、モチーフ的ガロア群が $G_2$ 型であるモチーフの存在を導出すること。
• セールが提起した、例外的モチーフ的ガロア群を有するモチーフの存在に関する問いに対する部分的解答を提供すること。

提案手法

• 既約エタール剛性局所系にミドルコントビューション関手 $\mathrm{MC}_\chi$ を適用し、ランク1の層に還元すること。
• カッツの存在アルゴリズムを用いて、与えられた局所モノドロミー条件が既約剛性局所系に引き上げられるかをテストすること。
• $\mathbb{P}^1_k \setminus \{0,1,\infty\}$ 上に、$0$、$1$、$\infty$ における指定された局所モノドロミー型を有するランク7のエタール剛性局所系 $\mathcal{H}(\varphi,\eta)$ を構成すること。
• エタールコホモロジーと特異コホモロジーの比較同型を用いて、モノドロミー表現をトポロジカルな基本群に関連させること。
• ファイバー空間 $X/S$ からクンネット射影子と相対コホモロジーを用いて、モチーフの族 $M_s = N_s(3)$ を構成すること。
• タンナカ双対性を適用し、すべての $s \in \mathbb{Q} \setminus \mathrm{Exc}$ に対して $M_s$ のモチーフ的ガロア群が $G_2$ に同型であることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathbb{P}^1 \setminus \{0,1,\infty\}$ 上にモノドロミー群が $G_2$ にザリスキ密である剛性局所系が存在するか？
• RQ2 このような剛性局所系はミドルコントビューション関手 $\mathrm{MC}_\chi$ を用いて構成可能か？
• RQ3 モチーフ的ガロア群が $G_2$ 型であるモチーフが存在するか？
• RQ4 このようなモチーフの存在は、グロテンディークの標準予想と整合的か？
• RQ5 幾何的代数幾何学的構成を用いて、モチーフのガロア群を $G_2$ として実現できるか？

主な発見

• 論文は、$\varphi$ と $\eta$ に関する指定された条件下で、$\mathbb{P}^1_k \setminus \{0,1,\infty\}$ 上にランク7のエタール剛性局所系 $\mathcal{H}(\varphi,\eta)$ を構成し、そのモノドロミー群が $G_2(\bar{\mathbb{Q}}_\ell)$ にザリスキ密であることを示した。
• 局所モノドロミーは、$0$ において $-\mathbf{1} \oplus -\mathbf{1} \oplus -\mathbf{1} \oplus -\mathbf{1} \oplus \mathbf{1} \oplus \mathbf{1} \oplus \mathbf{1}$、$1$ において $\mathrm{U}(2) \oplus \mathrm{U}(2) \oplus \mathrm{U}(3)$、$\infty$ において $\varphi$ と $\eta$ に応じて変化し、$\mathrm{U}(7)$ やユニポテンツ表現の直和を含む場合がある。
• 局所系 $\mathcal{H}(\mathbf{1},\mathbf{1})$ のモノドロミー表現は、比較同型とモチーフ的ガロア群のタンナカ再構成を用いて、$G_2(\bar{\mathbb{Q}}_\ell)$ にザリスキ密であることが示された。
• すべての $s \in \mathbb{Q} \setminus \mathrm{Exc}$ に対して、モチーフ $M_s = N_s(3)$ のモチーフ的ガロア群は $G_2$ に同型であり、$N_s$ は多様体族の $\ell$-進コホモロジーから生じる。
• モチーフ $A_s$（$N_s$ のキャラクター部の双対）が、$({\rm Spec\,}(s), {\rm Id}, 3)$ としてのテートねじれであることが示され、$M_s$ のモチーフ的ガロア群が $G_2$ であることが確認された。
• グロテンディークの標準予想の下で、モチーフ的ガロア群が $G_2$ 型であるモチーフの存在が確立され、セールの例外的モチーフ的ガロア群に関する問いに対する部分的解決が得られた。