[論文レビュー] Rigid Quasilocal Frames

Paul L. McGrath|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2014

Soft tissue tumor case studies参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、一般相対性理論におけるエネルギー、運動量、角運動量の準局所的量を、時空の対称性に依存せずに定義するための幾何的枠組みとして剛体準局所フレーム（RQFs）を導入する。時空の時間的ワールドチューブ境界上で発散とせん断をゼロに固定することで、RQFsは自然に6つの自由度を含み、重力的エネルギーと運動量の移動を等価原理によって明らかにする正確な幾何的保存則を可能にする。主な結果として、電磁界のポインティングベクトルに相当する相対論的類似物とアルキメデスの原理が得られる。

ABSTRACT

In this thesis, I examine in detail the properties of rigid quasilocal frames (RQF), which have been proposed as a geometrically natural way to define spatially extended reference frames in general relativity. I also explore their usefulness, in particular, as a tool for constructing completely general conservation laws that do not rely on the presence of spacetime symmetries and include both matter and gravitational contributions without the need for any ad hoc structures such as pseudotensors. In doing so, I show how the RQF approach affords a deeper understanding of the nature of gravitational fluxes via the equivalence principle. Finally, I apply the RQF formalism to explore Ehrenfest's rotating disk paradox, a generalization of Archimedes' law to curved spacetime, tidal interactions for Earth's and Jupiter's moons, and more.

研究の動機と目的

• 動的時空における拡張された系を定義する幾何的に自然な枠組みを、剛体準局所フレーム（RQFs）を用いて開発すること。
• グローバルな時空の対称性や擬テンソルに依存せずに、準局所的エネルギー、運動量、角運動量を定義すること。
• エネルギーと運動量のフラックスに対する正確で幾何的な保存則を導出し、重力的エネルギー移動の物理的メカニズムを明らかにすること。
• エーレンフェストの回転円盤パラドックスが長年にわたり解決されなかった理由を解明し、時間に依存する回転が時間的な非局所性を引き起こすことを示すこと。
• 電磁気的および重力的エネルギーフラックスがエネルギー変化に等しく寄与する理由を、時空の完全な曲率（重力的寄与を含む）が完全に記述するために不可欠であることを示すこと。

提案手法

• RQFを、トポロジーが ℝ×S² である時間的ワールドチューブ境界を形成する2パラメータ族の時間的ワールドラインとして定義し、剛性を確保するため発散とせん断をゼロに固定する。
• 2次元球面境界上で、3つのブーストと3つの回転からなる共形キリングベクトル（CKV）場を用い、6つの運動自由度を表現する。
• ブラウン＝ヨークの物質および重力の境界ストレステンソルを用いて、準局所的エネルギー、運動量、角運動量を構築する。
• 境界SEMテンソルのフラックスをRQF全体に渡って統合することで保存則を導出し、加速度に起因するなど物理的に関連するフラックスのみが現れるように保証する。
• 小球極限および時間に依存する回転への適用により、非局所性と曲率効果を分析する。
• 線形運動量保存則を用いて、曲がった時空における浮力の力に対して完全に一般相対論的類似物であるアルキメデスの法則を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般相対性理論において、時空の対称性を仮定せずに、エネルギー、運動量、角運動量をどのように準局所的に定義できるか？
• RQ2 重力的エネルギーと運動量の移動の背後にある物理的メカニズムは何か？ そして、等価原理を用いた幾何学的記述により、どのように捉えることができるか？
• RQ3 なぜエーレンフェストの剛体回転円盤パラドックスは長年にわたり解決されなかったのか？ RQFsはその背後にある時間的非局所性を明らかにできるか？
• RQ4 電磁気的および重力的エネルギーフラックスは、なぜ加速する系（例えばベルの宇宙船）においてエネルギー変化に等しく寄与するのか？
• RQ5 物質と重力場両方の寄与を含む完全な一般相対論的類似物としてのアルキメデスの法則を導出できるか？

主な発見

• RQF形式は、2次元球面境界上でのローレンツ変換に対応する6つの時間に依存する自由度を完全に提供し、発散とせん断をゼロに固定することにより幾何的剛性を保証する。
• ブラウン＝ヨークの境界ストレステンソルを用いて、物質および重力的寄与を含む準局所的エネルギーと運動量の保存則が導出される。
• エネルギーの時間変化率は加速度と運動量の積に比例し、この移動を説明する正確な重力的ポインティングベクトルの類似物が得られる。
• 電磁場内でのベルの宇宙船の例では、電磁気的エネルギーの変化の半分が標準のポインティングフラックスに起因し、残りの半分が重力的ポインティングベクトルに起因しており、平坦時空における電磁気学が不完全であることを示している。
• 物質および重力場の両方が寄与する、完全に正確な一般相対論的類似物としてのアルキメデスの法則が導出され、領域内の物質および重力場の重さが境界上の応力（浮力）によって支えられていることが示される。
• 形式は、潮汐加熱や2体間の潮汐トルクが、ぶどうの隆起に対する力によって生じるのではなく、質量からの加速度によって生じることを明らかにし、等価原理に基づくより深い説明を提供する。