[論文レビュー] Rigidity hierarchy in random point fields: random polynomials and determinantal processes

Subhroshekhar Ghosh, Manjunath Krishnapur|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2015

Point processes and geometric inequalities参考文献 38被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、確率的点過程における剛性階層を導入し、ドメイン内の点数や重心といった統計的特徴がドメイン外部の配置によって決定される条件を確立する。決定的点過程では、核が射影である場合にのみ剛性が成立することを証明し、任意に高い剛性レベルを示す1パラメータ族の過程を構成することで、局所的質量や重心を超えた高次元の剛性に関する未解決問題を解決する。

ABSTRACT

In certain point processes, the configuration of points outside a bounded domain determines, with probability 1, certain statistical features of the points within the domain. This notion, called rigidity, was introduced in a work of Ghosh and Peres. In this paper, rigidity and the related notion of tolerance are examined systematically and point processes with rigidity of various degrees are introduced. Natural classes of point processes such as determinantal point processes, zero sets of Gaussian entire functions and perturbed lattices are examined from the point of view of rigidity, and general conditions are provided for them to exhibit specified nature of spatially rigid behaviour. In particular, we examine the rigidity of determinantal point processes in terms of their kernel, and demonstrate that a necessary condition for determinantal processes to exhibit rigidity is that their kernel must be a projection. We introduce a one parameter family of point processes which exhibit arbitrarily high levels of rigidity (depending on the choice of parameter value), answering a natural question on point processes with higher levels of rigidity (beyond the known examples of rigidity of local mass and center of mass). Our one parameter family is also related to a natural extension of the standard planar Gaussian analytic function process and their zero sets.

研究の動機と目的

• Ginibre 系やガウス型整関数といった既知の例を超えて、ランダム点過程における剛性と許容性を体系的に分析すること。
• 決定的点過程が剛性を示す一般的な条件を特定すること、特に核の役割に焦点を当てる。
• 局所的質量や重心を超えた任意に高い剛性レベルを持つ点過程の存在という未解決問題を解消すること。
• 反例と確率的構成を用いて、許容性、強許容性、剛性の違いを明確にすること。

提案手法

• 局所的にコンpaktt、第二可算、ハウスドルフな空間上の点過程における剛性と許容性の形式的枠組みを導入し、外部および内部配置によって生成される完全加法族を用いる。
• 剛性を、ドメイン D 内の点配置に関する可測関数が、補集合 Dc 内の配置に関して可測であるという性質として定義する。
• 条件付き分布と互いに絶対連続性の概念を用いて、許容性、強許容性、剛性を区別する。
• 核のスペクトル論を用いて決定的点過程を分析し、剛性が核が射影作用素である場合にのみ成立することを証明する。
• 決定的過程の摂動を用いて1パラメータ族の点過程を構成し、パラメータによって剛性レベルを調整可能であることを示す。
• ポisson過程とGinibre過程の混合を用いた反例を用いて、許容性、強許容性、剛性の間の厳密な階層を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 決定的点過程の核にどのような条件が課されると、有界ドメイン内の点数の剛性が成立するか？
• RQ2 局所的質量や重心を超えて、任意に高い剛性レベルを示す点過程を構成できるか？
• RQ3 許容性、強許容性、剛性という概念はどのように関係し合い、一つの点過程において厳密に分離可能か？
• RQ4 平面ガウス型解析的関数過程の自然な拡張として、零点集合が高次元の剛性を示すものはあるか？
• RQ5 決定的点過程における剛性を決定づける核の射影性の役割は何か？

主な発見

• 決定的点過程が剛性を示すための必要条件は、その核が射影作用素であることである。
• 本稿では、パラメータの値に応じて任意に高い剛性レベルを示す1パラメータ族の点過程を構成し、高次元剛性に関する未解決問題に答えを提示した。
• 決定的過程では、ドメイン内の点数の剛性が成立するのは、核が射影である場合に限る。
• 標準ガウス型整関数の零点集合および無限Ginibre集合は、点数の剛性を示し、GAFの場合には重心の剛性も示す。
• Z 上の2-依存過程を用いた反例により、エルゴード性、混合性、尾部の自明性が成り立っても、許容性が強許容性を含まずに成立しうることを示した。
• 反例により、剛性が強許容性を含まずに成立しうること、また許容性が成立しても強許容性が成立しない場合があることが示され、これらの概念間に厳密な階層が存在することが立証された。