[論文レビュー] Rigidity in dynamics and Möbius disjointness

Adam Kanigowski, Mariusz Lemańczyk+1 more|CaltechAUTHORS (California Institute of Technology)|May 30, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 21被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、特定の剛性条件を満たす位相的力学系——すなわち、有界素数体積剛性または稠密部分集合上の多項式剛性——が、Sarnakのモービウス関数の非干渉性に関する予想を満たすことを確立する。主な貢献は、既存の結果を回復・拡張する一般化された基準を提示することであり、区間交換写像、回転上の$C^{2+\epsilon}$スケアプロダクト、トーラス上の滑らかな流れについて、モービウス非干渉性を証明する。

ABSTRACT

Let $(X, T)$ be a topological dynamical system. We show that if each invariant measure of $(X, T)$ gives rise to a measure-theoretic dynamical system that is either: a. rigid along a sequence of "bounded prime volume" or b. admits a polynomial rate of rigidity on a linearly dense subset in $C(X)$, then $(X, T)$ satisfies Sarnak's conjecture on Möbius disjointness. We show that the same conclusion also holds if there are countably many invariant ergodic measures, and each of them satisfies a. or b. This recovers some earlier results and implies Sarnak's conjecture in the following new cases: for almost every interval exchange map of $d$ intervals with $d \geq 2$, for $C^{2+ε}$-smooth skew products over rotations and $C^{2+ε}$-smooth flows (without fixed points) on the torus. In particular, these are improvements of earlier results of respectively Chaika-Eskin, Wang and Huang-Wang-Ye. We also discuss some purely arithmetic consequences for the Liouville function.

研究の動機と目的

• 位相的力学系がモービウス非干渉性に関するSarnakの予想を満たすための十分条件を確立すること。
• 区間交換写像や滑らかなスケアプロダクトを含む、新たなクラスの系へ、既知のモービウス非干渉性の結果を拡張すること。
• 測度論的剛性とモービウス関数の算術的性質を結びつける一般化された枠組みを構築すること。
• DDKBSZ基準を超える、可算個のエルゴード測度を持つ系に適用可能な、モービウス非干渉性の新しい基準を提供すること。

提案手法

• 整数 $q$ の素因数 $p$ についての和 $\sum_{p|q} 1/p$ を用いて定義される「有界素数体積」剛性の概念を導入し、$\mathcal{D}_j$ を素体積が $j$ 未満である整数の集合とする。
• 2種類の剛性を定義する：(a) 有界素数体積（BPV）剛性、および (b) $C(X)$ の線形的稠密部分集合上での多項式レート剛性（PR剛性）。
• Matomäki-Radziwiłłの定理の変種を、制御された素体積を持つ短区間に対して適応した、モービウス関数の算術的進数列における短い平均に関する結果を用いる。
• Daboussi-Delange-Kátai-Bourgain-Sarnak-Ziegler基準を変形した形で適用し、剛性に基づく軌道平均の構造を活用する。
• Tietzeの拡張定理と測度論的同型写像を用いて、記号的モデルから元の系への性質の移行を実現する。
• 良い軌道構造を持つ系に対して、強い $\mathbf{u}$-OMO 性質を確立し、重み付きエルゴード平均の制御を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 不変測度がどのような条件下で、位相的力学系がSarnakのモービウス非干渉性予想を満たすか？
• RQ2 有界素数体積剛性または多項式レート剛性が、モービウス非干渉性を示唆するか？
• RQ3 可算個のエルゴード不変測度が存在し、それぞれがBPVまたはPR剛性を満たす場合、モービウス非干渉性が成立するか？
• RQ4 これらの結果は、区間交換写像や回転上の$C^{2+\epsilon}$スケアプロダクトといった滑らかな力学系に適用可能か？
• RQ5 これらの力学的結果がリウヴィル関数に与える算術的帰結は何か？

主な発見

• 位相的力学系 $(X,T)$ のすべての不変測度が、BPV-剛性またはPR-剛性を満たすならば、$(X,T)$ はSarnakの予想を満たす。
• $d \geq 2$ 個の区間を持つほとんどすべての区間交換写像についても結果が成立し、Chaika-Eskinの先行結果を回復・改善する。
• 回転上の$C^{2+\epsilon}$-滑らかなスケアプロダクトに対しても予想が成立し、Wangの結果を拡張する。
• トーラス上に固定点のない$C^{2+\epsilon}$-滑らかな流れに対しても予想が成立し、Huang-Wang-Yeの結果を改善する。
• 素体積が $j$ 未満である整数の集合 $\mathcal{D}_j$ は、$j \to \infty$ のとき自然密度 $d(\mathcal{D}_j) \to 1$ を満たすことが示され、技術的解析において中心的な役割を果たす。
• 可算個のエルゴード測度を持ち、それぞれがBPVまたはPR剛性を満たす系がモービウス非干渉性を満たすことが確立され、以前の結果をより広いクラスの系へ一般化する。