[論文レビュー] Rigidity of action of compact quantum groups III: the general case

Debashish Goswami|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2012

Advanced Operator Algebra Research参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、滑らかで、コンパクトで、向き付けられており、連結なリーマン多様体に滑らかで忠実な作用をもつ任意のコンパクト量子群は、余接バンドルの切断に自然な双加群準同型を誘導するならば、C*-代数として可換でなければならないことを証明している。したがって、それはあるコンパクト群 $ G $ に対して $ C(G) $ に同型である。結果として、このような多様体の量子等長群は、古典的等長群 $ C(ISO(M)) $ と一致する。これは、これらの多様体には真正の量子対称性が存在しないことを示している。

ABSTRACT

If a compact quantum group acts faithfully and smoothly (in the sense of Goswami 2009) on a smooth, compact, oriented, connected Riemannian manifold such that the action induces a natural bimodule morphism on the module of sections of the co-tangent bundle, then it is proved that the quantum group is necessarily commutative as a $C^{*}$ algebra i.e. isomorphic with $ C(G)$ for some compact group $G$. From this, we deduce that the quantum isometry group of such a manifold M coincides with $C(ISO(M))$ where $ISO(M) $ is the group of (classical) isometries, i.e. there is no genuine quantum isometry of such a manifold.

研究の動機と目的

• 滑らかで、コンパクトで、向き付けられており、連結なリーマン多様体に非可換でないコンパクト量子群が忠実かつ滑らかに作用できるかどうかを調査すること。
• このような作用が、特に量子等長群の文脈において、非可換な量子対称性を生じさせることができるかどうかを特定すること。
• 量子群が可換である必要がある条件を確立することにより、これらの幾何的対象に対して真正の量子対称性が排除されることを示すこと。

提案手法

• Goswami (2009) の意味での滑らかな作用という概念を用い、作用が多様体の滑らか構造と整合することを要請する。
• 余接バンドルの切断のモジュールへの誘導された作用を分析し、双加群準同型であることを要請する。
• 表現論的およびC*-代数的技法を用いて、量子群が可換でなければならないことを導出する。
• 量子群をC*-代数としての構造と、リーマン計量および向き付けと作用の整合性に依存する。
• 作用が滑らか構造を保存し、微分形式に一意に定義された準同型を誘導することを用いる。
• 結論として、このような量子群の唯一の可能性は、あるコンパクト群 $ G $ に対して $ C(G) $ に同型であるもの、つまり古典的コンパクト群である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換なコンパクト量子群が、滑らかで、コンパクトで、向き付けられており、連結なリーマン多様体に滑らかで忠実に作用できるか？
• RQ2 このような多様体への量子群作用が、量子群を可換に強いる条件は何か？
• RQ3 与えられた幾何的制約のもとで、コンパクトリーマン多様体の量子等長群は、必然的に古典的等長群と一致するか？
• RQ4 余接バンドル作用の構造に基づいて、このような多様体に対して真正の量子等長が禁止されるメカニズムは存在するか？
• RQ5 余接バンドル切断への双加群準同型条件は、量子群の古典的性質を示す十分な基準となるか？

主な発見

• 滑らかで、コンパクトで、向き付けられており、連結なリーマン多様体に滑らかで忠実に作用する任意のコンパクト量子群は、C*-代数として可換でなければならない。
• 量子群は、あるコンパクト群 $ G $ に対して $ C(G) $ に同型であることが必然的である。これは、それが古典的であることを意味する。
• 作用は、余接バンドルの切断のモジュールへの自然な双加群準同型を誘導するが、これが重要な制約条件である。
• このような多様体の量子等長群は、古典的等長群の関数代数 $ C(ISO(M)) $ と一致する。
• これらの多様体には真正の量子等長が存在しない。古典的等長群を超える非古典的量子対称性は存在しない。
• 作用構造の剛性が、量子群を古典的群に収縮させ、非可換な量子対称性を排除する。