[論文レビュー] Rigidity of action of compact quantum groups on compact, connected manifolds

Debashish Goswami, Soumalya Joardar|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 29被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、コンpakトな量子群がコンパクトで、連結で、滑らかな多様体に滑らかで等長的に作用し、リーマン構造を保存するならば、その量子群は可換でなければならない、つまり古典的コンパクト群の関数代数に同型でなければならないことを証明している。この結果は、非可換な量子群がこのような多様体に等長的に作用できるのは、それらが古典的群に還元される場合に限ることを示す、剛性現象を確立する。

ABSTRACT

Suppose that a compact quantum group $\clq$ acts faithfully on a smooth, compact, connected manifold $M$ such that the action $\alpha$ is smooth, i.e. it leaves $C^\infty(M)$ invariant and the linear span of $\alpha(C^\infty(M))(1 \ot \clq)$ is Fr\'echet-dense in $C^\infty(M,\clq)$. % and (ii) %%the action $\alpha_r:=({ m id} \ot \pi_r)\circ \alpha$ of the reduced quantum group $\clq_r$ is injective (which is equivalent to %the existence of some $\alpha$-invariant faithful positive Borel measure on $C(M)$). We prove that if the action is isometric in the sense of \cite{Goswami} some Riemannian structure on $M$ then $\clq$ must be commutative as a $C^{*}$ algebra i.e. $\clq\cong C(G)$ for some compact group $G$ acting smoothly on $M$. Along the way, we develop several general techniques to study smooth actions of compact quantum groups, proving in particular (i) injectivity of the reduced action and (ii) equivalence of existence of some Riemannian structure for which is preserved by the action and the possibility of a suitable `lift' of the action as a well-defined, Frechet-continuous bimodule-morphism on the $C^\infty(M)$-bimodule $\Omega^1(M)$ of smooth one-forms. As a consequence, the quantum isometry group of any noncommutative Riemannian manifold obtained by cocycle twisting of a compact connected Riemannian manifold is isomorphic with similar cocycle twisted quantum version of the classical isometry group of the manifold.

研究の動機と目的

• 滑らかな多様体上のコンパクト量子群作用が古典的群作用に還元される条件を確立すること。
• コンパクトで、連結なリーマン多様体上でのコンパクト量子群の滑らかで等長的な作用の意味を調査すること。
• 多様体上でのコンパクト量子群の滑らかな作用を分析するための一般的な技術を開発すること。
• 不変なリーマン構造の存在と、滑らかな1形式のモジュールへの作用の持ち上げとの関係を明確にすること。
• 古典的リーマン多様体のコサイクル捩りによって得られる多様体の量子等長群を特徴付けること。

提案手法

• 滑らかな多様体 $C^\infty(M)$ 上でのコンパクト量子群の作用を導入・分析し、像の不変性および $C^\infty(M, \clq)$ 内でのフレシェ稠密性を要請する。
• 不変で忠実な正のボレル測度の存在により、縮小作用 $\alpha_r = (\text{id} \ot \pi_r) \circ \alpha$ の単射性を証明する。
• $\alpha$-不変なリーマン計量の存在と、滑らかな1形式の $C^\infty(M)$-双加群 $\Omega^1(M)$ 上での、適切に定義されたフレシェ連続な双加群準同型の存在との同値性を確立する。
• ゴスワミが提示した等長作用の条件を用いて、量子群代数が可換であることを制限する。
• 微分計算および双加群構造の理論を含む非可換幾何学の技術を用い、形式上での作用を分析する。
• コサイクル捩りされた多様体の量子等長群を分析し、元の多様体の古典的等長群の捩りバージョンに同型であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトで、連結で、滑らかな多様体上に、コンパクト量子群が滑らかで等長的に作用できる条件は何か？
• RQ2 不変なリーマン計量の存在が、多様体上に作用する量子群に課す構造的制約は何か？
• RQ3 滑らかな関数上での作用の性質と、それが滑らかな1形式のモジュールへの持ち上げとどのように関係するか？
• RQ4 非可換な量子群は、古典的リーマン多様体に等長的に作用できるか、それとも可換でなければならないか？
• RQ5 コサイクル捩りされたリーマン多様体の量子等長群の構造は何か？

主な発見

• コンパクトな量子群がコンパクトで、連結で、滑らかな多様体に滑らかで等長的に作用するならば、その量子群は $C^*$-代数として可換でなければならない。
• 作用が等長的であることは、量子群が $M$ に滑らかに作用するあるコンパクト群 $G$ に対して $C(G)$ に同型であることを意味する。
• $\alpha$-不変なリーマン計量の存在は、作用を拡張するフレシェ連続な双加群準同型が $\Omega^1(M)$ 上に存在することと同値である。
• 縮小作用 $\alpha_r$ が単射であることは、$C(M)$ 上に忠実な $\alpha$-不変な正のボレル測度が存在することと同値である。
• コサイクル捩りされたリーマン多様体の量子等長群は、元の多様体の古典的等長群のコサイクル捩りバージョンに同型である。
• 滑らかさと $C^\infty(M)$ の不変性に加え、フレシェ稠密性により、量子群の構造はきびしく制約される。