[論文レビュー] Rigidity of closed CSL submanifolds in the unit sphere

Yong Luo, Linlin Sun|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 38被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、単位球面 $\mathbb{S}^{2n+1}$ 内の閉接触静止レジェンドリアン（CSL）部分多様体について、剛性定理を確立する。第二基本形式のノルムの二乗が $[0,2]$ の範囲にある場合、部分多様体は完全測地的であるか、平坦な最小レジェンドリアントーラスであることを証明する。この結果は、$\mathbb{S}^5$ 内の曲面に対する以前のギャップ定理を、幾何解析およびカラビ積構成を用いて高次元に一般化したものである。

ABSTRACT

A contact stationary Legendrian submanifold (briefly, CSL submanifold) is a stationary point of the volume functional of Legendrian submanifolds in a Sasakian manifold. Much effort has been paid in the last two decades to construct examples of such manifolds, mainly by geometers using various geometric methods. But we have rare knowledge about their geometric properties till now. Recently, Y. Luo (\cite{ Luo2, Luo1}) proved that a closed CSL surface in $\mathbb{S}^5$ with the square length of its second fundamental form belonging to $[0,2]$ must be totally geodesic or be a flat minimal Legendrian torus, which generalizes a related gap theorem of minimal Legendrian surface due to Yamaguchi et al. (\cite{YKM}). In this paper, we will study the general dimensional case of this result.

研究の動機と目的

• 閉最小レジェンドリアン曲面の $\mathbb{S}^5$ 内のギャップ定理を、高次元のCSL部分多様体へ拡張すること。
• 点毎の $|\mathbf{B}|^2$ に対する有界性の下で、$\mathbb{S}^{2n+1}$ 内の閉CSL部分多様体の幾何的剛性を調査すること。
• $|\mathbf{B}|^2 \in [0,2]$ の条件下で、このような部分多様体が完全測地的であるか、平坦な最小トーラスでなければならないかどうかを特定すること。
• CSL部分多様体に対するシモンズ型不等式の高次元アナロジーを確立すること。

提案手法

• 著者たちは、低次元の部分多様体から新しいCSL部分多様体を生成するカラビ積構成を用い、CSL条件を保存する。
• 正規直交フレームと複素構造分解を用いて、カラビ積の第二基本形式および平均曲率の明示的公式を導出する。
• 解析は、CSL部分多様体を特徴付けるオイラー＝ラグランジュ方程式 $\operatorname{div}_g(\bar{J}\mathbf{H}) = 0$ に依存する。
• 重要なステップとして、積計量における第二基本形式の $L^2$ ノルム $|\mathbf{B}|^2_{\tilde{g}}$ および平均曲率 $|\mathbf{H}|^2_{\tilde{g}}$ の計算が行われる。
• CSL設定に適応されたシモンズ型積分不等式が適用され、$|\mathbf{B}|^2$ におけるピンチング条件が得られる。
• 導出された不等式の比較議論と等号成立条件を用いて、可能な部分多様体を分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単位球面 $\mathbb{S}^{2n+1}$ 内の閉CSL部分多様体が、$|\mathbf{B}|^2$ がどのような条件下で完全測地的または平坦な最小レジェンドリアントーラスになるか。
• RQ2 $\mathbb{S}^5$ 内の最小レジェンドリアン曲面に対するギャップ定理を、高次元のCSL部分多様体へ一般化できるか。
• RQ3 カラビ積の幾何とCSL条件との間の正確な関係は何か。
• RQ4 第二基本形式の $L^2$ ノルムが、閉CSL部分多様体の可能な形状をどのように制約するか。
• RQ5 $|\mathbf{B}|^2$ に対して、剛性が発生する鋭い上界は存在するか。

主な発見

• 単位球面 $\mathbb{S}^{2n+1}$ 内の閉CSL部分多様体で、$|\mathbf{B}|^2 \in [0,2]$ を満たすものは、完全測地的であるか、平坦な最小レジェンドリアントーラスである。
• カラビ積構成はCSL条件を保存し、基底部分多様体がCSLである場合に限り、得られる部分多様体もCSLである。
• 平均曲率ベクトル $\mathbf{H}$ が平行であることは、基底の平均曲率ベクトルが平行であることと同値である。
• 第二基本形式のノルムの二乗は、$$ |\mathbf{\tilde{B}}|^2_{\tilde{g}} \geq \frac{(n-1)(n+2)}{n} + \frac{n^2+3n-2}{2n^2}|\mathbf{\tilde{H}}|^2_{\tilde{g}} - \frac{(n-1)(n-2)|\mathbf{\tilde{H}}_{\tilde{g}}|\sqrt{4n + |\mathbf{\tilde{H}}_{\tilde{g}}|^2}}{2n^2} $$ を満たし、等号成立は $|r_1| \leq \sqrt{n/(n+1)}$ のときに限る。
• 恒等式 $$ |\mathbf{\tilde{B}}|^2_{\tilde{g}} - \frac{3n-2}{n^2}|\mathbf{\tilde{H}}|^2_{\tilde{g}} - \frac{4(n-1)}{n} = \frac{(n-1)(n-2)}{n^2}\frac{r_1^2}{r_2^2} $$ が成り立ち、これは積のパラメータに直接依存することを示している。
• 基底 $M$ が完全測地的であるとき、不等式は鋭くなる。等号成立条件から剛性が導かれる。