[論文レビュー] Rigidity of graphs of germs and homomorphisms between full groups

Nicolás Matte Bon|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 52被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、コーナー集合上のエタール群コアの完全群に対して、位相的剛性現象を確立する。すなわち、交代完全群のコンパクト空間への作用は、全局的固定芽を持つか、群コアそのものから誘導される。主な結果は、特定の群コアの完全群間の埋め込みが、群コアの準同型によって誘導されることであり、これは同型の剛性を一般化し、軌道的成長や複雑度関数といった不変量を用いた新たな障害を可能にする。

ABSTRACT

We study topological full groups of \'etale groupoids and show that they satisfy new rigidity phenomena of topological dynamical nature. If $\mathcal{G}$ is a minimal groupoid of germs on the Cantor set, actions of the (alternating) full group of $\mathcal{G}$ on compact spaces satisfy the following dichotomy: either there is a point such that no element has trivial germ at that point, or the action is induced from an action of a (reduced) power of the groupoid $\mathcal{G}$. This dichotomy is a simoultaneous generalisation of the fact that isomorphisms of full groups are implemented by isomorphisms of the underlying groupoids, and of the simplicity of the alternating full group. Using this result we obtain that, for a vast class of groupoids (defined in terms of the geometry of their Cayley graphs), not only isomorphisms but all embeddings between the full groups are induced from the groupoids in a suitable sense. We also show that various quantitative invariants of \'etale groupoids, such as the orbital growth and the complexity function, can be used to produce obstructions to the existence of embeddings. A key tool in the proofs is a characterisation of the subgroups of the full group whose conjugacy class does not accumulate on the trivial subgroup in the Chabauty topology. As another application, we provide the first examples of finitely generated groups that do not admit infinite Schreier graphs that grow uniformly subexponentially, but do admit co-amenable subgroups of infinite index.

研究の動機と目的

• コーナー集合上の最小群コアの（交代）完全群の作用に対する位相的力学的二分法を確立すること。
• 既知の完全群間の同型の剛性を、同型に限らないすべての埋め込みへの一般化すること。
• 群コアの幾何的不変量（例えば軌道的成長や複雑度関数）を、完全群間の埋め込みの存在に対する障害として用いること。
• チャバウティ位相において、自明部分群に収束しない共役類を持つ完全群の部分群を特徴付けること。
• 無限大指数の共アーメン部分群をもつが、一様に指数的に成長しないシュライエル・グラフを一切持たない、有限生成群の新しい例を構成すること。

提案手法

• コンパクト空間への交代完全群の作用を解析し、二分法を確立する：ある点でどの要素に対しても自明な芽がない、あるいは作用が元の群コアの（縮小された）べきから誘導される。
• チャバウティ位相を用いて、自明部分群に収束しない共役類を持つ完全群の部分群を特徴付ける。
• 二分法を応用し、ケイリー・グラフの幾何的性質に関する一定の条件を満たす群コアの完全群間の埋め込みが、群コアの準同型によって誘導されることを示す。
• エタール群コアの軌道的成長や複雑度関数といった定量的不変量を導入し、完全群間の埋め込みの存在を妨げる障害とする。
• 無限大指数の共アーメン部分群をもつが、一様に指数的に成長しない無限大のシュライエル・グラフを一切持たない有限生成群の構成。
• 固定芽の群コアおよびその完全群の構造を活用し、位相的力学および群論的技法を用いて剛性結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エタール群コアの完全群間の埋め込みが、元の群コアの準同型によって誘導される条件は何か？
• RQ2 群コアのケイリー・グラフの幾何的性質は、その完全群間の埋め込みの存在をどのように制限するか？
• RQ3 エタール群コアの軌道的成長および複雑度関数は、群の埋め込みの障害として機能するか？
• RQ4 チャバウティ位相において、自明部分群に収束しない共役類を持つ完全群の部分群はどのように特徴付けられるか？
• RQ5 無限大指数の共アーメン部分群をもつが、一様に指数的に成長するシュライエル・グラフを一切持たない有限生成群は存在するか？

主な発見

• コンパクト空間への交代完全群の作用は二分法を満たす：ある点でどの要素に対しても自明な芽がない、あるいは作用が元の群コアの（縮小された）べきから誘導される。
• ケイリー・グラフの幾何的性質によって定義される広範な群コアのクラスに対して、その完全群間のすべての埋め込みが群コアの準同型によって誘導される。
• エタール群コアの軌道的成長および複雑度関数は、完全群間の埋め込みの存在に対する有効な障害を提供する。
• 本論文は、チャバウティ位相において自明部分群に収束しない共役類を持つ完全群の部分群を特徴付けた。
• 著者らは、無限大指数の共アーメン部分群をもつが、一様に指数的に成長するシュライエル・グラフを一切持たない有限生成群の初の例を構成した。
• 既知の完全群の同型の剛性を、より広い埋め込みのクラスに一般化し、新たな形の位相的剛性を確立した。