[論文レビュー] Rigidity of groups of circle diffeomorphisms and Teichmüller spaces

Katsuhiko Matsuzaki|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2016

Analytic and geometric function theory参考文献 32被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、可積分なテイヒミュラー空間にウェイリ・ピーターソン計量を備えた状態で、 Hölder連続な微分を持つ円周微分同相写像の群の剛性を、その作用を分析することによって確立する。このような群は等長作用のもとで固定点を持つことが示され、同じ正則性の微分同相写像によるモビウス群への共役の十分条件が得られる。

ABSTRACT

We consider deformations of a group of circle diffeomorphisms with Hölder continuous derivatives in the framework of quasiconformal Teichmüller theory and show certain rigidity under conjugation by symmetric homeomorphisms of the circle. As an application, we give a condition for such a diffeomorphism group to be conjugate to a Möbius group by a diffeomorphism of the same regularity. The strategy is to find a fixed point of the group which acts isometrically on the integrable Teichmüller space with the Weil-Petersson metric.

研究の動機と目的

• 対称的ホメオモルフィズムによる共役の下で、Hölder連続な微分を持つ円周微分同相写像の群の剛性を調査すること。
• このような群が、同じ正則性の微分同相写像によるモビウス群への共役となるための条件を特定すること。
• ウェイリ・ピーターソン計量を備えた可積分テイヒミュラー空間における群作用のもとで固定点の存在を確立すること。
• モビウス変換による商をとった $ C^{1+\alpha} $ 微分同相写像の空間 $ T_0^\alpha $ を含む、準正則テイヒミュラー理論の枠組みを拡張すること。
• 可積分なベルトラミー係数の空間に $ p $-ウェイリ・ピーターソン計量を定義し、テイヒミュラー空間上のフィンスラー構造として分析すること。

提案手法

• 普遍テイヒミュラー空間 $ T $ における準正則群 $ \operatorname{QS} $ の作用を用い、それを $ \operatorname{M\ddot{o}b}(\mathbb{S}^1)\backslash \operatorname{QS} $ と同一視する。
• $ C^{1+\alpha} $ 微分同相写像に対応する部分空間として、空間 $ T_0^\alpha = \operatorname{M\ddot{o}b}(\mathbb{S}^1)\backslash \operatorname{Diff}^{1+\alpha}_+(\mathbb{S}^1) $ を $ T $ の部分空間として導入する。
• 境界付近での減衰が $ O(t^\alpha) $ であるベルトラミー係数の空間 $ \operatorname{Bel}_0^\alpha(\mathbb{D}) $ を定義し、そのテイヒミュラー射影による像が $ T_0^\alpha $ を与える。
• ベルトラミー係数の $ p $-可積分空間上の $ p $-ウェイリ・ピーターソン計量 $ d_{WP}^p $ を、ベルス埋め込みとシュワルツ微分の $ L^p $-ノルムを用いて構成する。
• ドミネートド収束定理とベルトラミー係数の一様有界性を用いて、右平行移動写像 $ R^*_\varphi $ の微分の収束評価により、$ p $-ウェイリ・ピーターソン計量の連続性を証明する。
• 収縮写像の原理と $ \|\mu_n\|_p $ の一様推定を用いて、計量が適切に定義されかつ連続であることを示し、$ \|\mu_{i-1}\|_\infty $ の減衰に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ C^{1+\alpha} $ 円周微分同相写像の群が、$ C^{1+\alpha} $ 微分同相写像による共役でモビウス群に同型となる条件は何か？
• RQ2 $ C^{1+\alpha} $ 微分同相写像の群が、可積分テイヒミュラー空間 $ T_0^\alpha $ にウェイリ・ピーターソン計量を備えて作用するとき、その作用に固定点が存在するか？
• RQ3 $ p $-可積分ベルトラミー係数の空間における $ p $-ウェイリ・ピーターソン計量の振る舞いはどのようにか？連続性は保たれるか？
• RQ4 ベルトラミー係数の境界付近での減衰率と、それに対応する微分同相写像の正則性との関係は何か？
• RQ5 群が $ T_0^\alpha $ 上に等長作用をもつとき、それが共役問題における剛性をどの程度示唆するか？

主な発見

• 群 $ G \subset \operatorname{Diff}^{1+\alpha}_+(\mathbb{S}^1) $ が可積分テイヒミュラー空間 $ T_0^\alpha $ にウェイリ・ピーターソン計量を備えて等長作用をもつことと、$ T_0^\alpha $ 内に固定点をもつことは同値である。
• $ p $-ウェイリ・ピーターソン計量 $ d_{WP}^p $ は $ T^p $ 上で連続である。これは、$ \varphi \to 0 $ のとき微分 $ d_\varphi R^*_\varphi $ が $ L^p $-ノルムで恒等写像に収束することによって示される。
• 任意の $ \widetilde{\varepsilon} > 0 $ に対して、十分小さい $ \varphi $ に対して、右平行移動の微分と恒等写像の差の $ p $-ノルムが $ 3\widetilde{\varepsilon} $ 以下に抑えられることを示す。これにより連続性が証明される。
• $ \mu_n \in \operatorname{Ael}^p(\mathbb{D}) $ で $ \pi(\mu_n) = \tau_n = \tau $ を満たすとき、推定 $ \|\mu_n\|_p \leq C'\delta_p n $ が成り立つ。ここで $ C' $ は $ n $ のみに依存する。これは計量とベルトラミー係数の成長の間の関係を示す。
• 微分 $ d_\varphi R^*_\varphi $ に対して $ \|d_\varphi R^*_\varphi(\psi) - \psi\|_p \to 0 $ が $ \varphi \to 0 $ のとき成り立つ。ドミネートド収束定理と一様有界性により、計量の連続性が確認される。
• $ d_{WP}^p $ は $ T^p $ 上に適切に定義されたフィンスラー計量であり、シュワルツ微分の $ L^p $-ノルムが構成と連続性の証明の中心的役割を果たす。