[論文レビュー] Rigidity of locally free Lie group actions and leafwise cohomology

Shigenori Matsumoto|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、局所的に自由な作用を示すアーベル群および可解リー群の作用のパラメータ剛性のための条件を、葉ごとのコホモロジーを主な道具として確立する。作用が無理数的非近似性を持つ行列と不可約な固有値を持つ双曲的自己同型から生じる場合、その作用はパラメータ剛性であることが証明され、追加の正則性条件のもとでは$C^\infty$剛性である。結果は、葉層構造の最小性に関連し、すべての葉が最小曲面となるリーマン計量の存在に関連する。

ABSTRACT

Relations between parameter rigidity of locally free Lie group actions on closed manifolds and the 1st leafwise cohomology of the orbit foliations are discussed. Some computational results of the leafwise cohomology are included.

研究の動機と目的

• 滑らかな多様体上のアーベル群および可解リー群の局所的に自由な作用のパラメータ剛性の十分条件を確立すること。
• 葉ごとのコホモロジーが群作用および軌道葉層構造の剛性を特徴付ける役割を調査すること。
• 関連する線形モノドロミーの固有値の性質と関連して、このような作用が$C^\infty$剛性である条件を特定すること。
• 剛性の幾何的意味、特にすべての葉が最小曲面となるリーマン計量の存在を検討すること。

提案手法

• 群作用から生じる葉層構造のための葉ごとのコホモロジーを定義し、作用に不変な微分形式を用いる。
• 多様体上の閉形式に葉ごとの体積形式が拡張可能であるというコホモロジー的条件を用いて、葉層構造の最小性を決定する。
• $C^\infty$力学系および葉層構造理論の結果、特にEl KacimiとNicolauの軌道葉層構造の剛性定理を適用する。
• フローの横断切断における最初の帰還時間関数を分析し、パラメータ剛性を$f = g \circ R_\alpha - g + c$の形のコホモロジー方程式に還元する。
• 固有値に数論的条件（不適切に近似可能な性質）を課して、コホモロジー方程式の可解性を保証し、結果としてパラメータ剛性を確立する。
• 全最小化性の基準として、ホモモルフィズム$r_*: H^p(M;\mathbb{R}) \to H^p(\mathcal{F})$の全射性を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉多様体上の可解リー群の局所的に自由な作用が、どのような条件下でパラメータ剛性を示すか？
• RQ2 葉ごとのコホモロジーは、群作用の剛性および不変なリーマン計量の存在とどのように関係するか？
• RQ3 トーラス上の線形葉層構造がいつ全最小化可能となるか？また、傾き行列のディオファントス近似型はどのような役割を果たすか？
• RQ4 $C^\infty(M)$内での部分空間$\{Y(f)\}$と$\{S(f)\}$の和が閉じているかどうかを評価し、その幾何的意味を明らかにできるか？

主な発見

• 2次元トーラス上の双曲的$SL(2,\mathbb{Z})$自己同型の写像トーラスにおける、$GA$作用は、Ghysによってグローバル剛性であることが示された。
• 2次元トーラス上のクロネッカー・フローでは、パラメータ剛性が成り立つのは、傾き$\alpha$が不適切に近似可能である、すなわち、ある$C>0$、$\rho>0$およびすべての$k \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}$に対して$\|k\alpha\|_{S^1} > C|k|^{-\rho}$が成り立つ場合に限る。
• モノドロミー行列$A$の最小多項式が$\mathbb{Q}$上で不可約であれば、$G$作用はパラメータ剛性を示す。
• すべての固有値が正で、最小多項式が不可約であれば、$G$作用は$C^\infty$剛性を示し、パラメータ剛性と軌道葉層構造の剛性が統合される。
• 双曲的曲面の単位接束上のアノソフフローから生じる$\mathcal{W}^s$葉層構造は、全最小化可能である。これは、コホモロジー写像$r_*$が全射であるためである。
• 閉3次元多様体上の測地線フローの$\mathcal{F}^s$葉層構造は、ほぼ全最小化可能である。$r_*: H^2(M;\mathbb{R}) \to \mathcal{H}^2(\mathcal{F}^s)$が同型であるためである。