[論文レビュー] Rigidity of manifolds with boundary under a lower Ricci curvature bound

Yohei Sakurai|Osaka City University (Osaka City University)|Apr 15, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 24被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、リッチ曲率と境界平均曲率の下界があるリーマン多様体に対して、バッチラー＝グロモフ型体積比較定理を確立する。単一のレイヤーの存在下で、剛性結果を示し、特に体積成長の剛性定理とチーリング＝グロモル型の分割定理を、特定の初期条件を満たすヤコビ方程式の解によって定義されるモデル空間を用いて得る。

ABSTRACT

We study Riemannian manifolds with boundary under a lower Ricci curvature bound, and a lower mean curvature bound for the boundary. We prove a volume comparison theorem of Bishop-Gromov type concerning the volumes of the metric neighborhoods of the boundaries. We conclude several rigidity theorems. As one of them, we obtain a volume growth rigidity theorem. We also show a splitting theorem of Cheeger-Gromoll type under the assumption of the existence of a single ray.

研究の動機と目的

• リッチ曲率と平均曲率の下界の下で、境界をもつリーマン多様体の比較幾何を発展させること。
• 境界の距離近傍に対するバッチラー＝グロモフ型体積比較定理を確立すること。
• 曲率および境界条件の下で、剛性定理（特に体積成長の剛性とチーリング＝グロモル型の分割）を導出すること。
• 多様体とモデル空間の間の距離空間の等長写像を提供し、リーマン幾何学における既存の等長写像結果を補完すること。

提案手法

• モデル空間 $M^{n}_{\bar{\theta},\bar{\theta}}$ を、定数曲率 $\kappa$ をもつ空間形式 $M^{n}_{\bar{\theta}}$ の測地的球または商として定義する。$\kappa$ と $\lambda$ に応じて定まる。
• 関数 $s_{\kappa,\lambda}(t)$ を導入する。これはヤコビ方程式 $f''(t) + \kappa f(t) = 0$ の解で、初期条件 $f(0) = 1$, $f'(0) = -\lambda$ を満たし、モデル空間の計量を定義するために用いられる。
• 体積比較不等式を確立する：$r \leq R$ のとき、$\frac{\operatorname{vol}_g B_R(\partial M)}{\operatorname{vol}_g B_r(\partial M)} \leq \frac{\int_0^R s_{\kappa,\lambda}^{n-1}(s)\,ds}{\int_0^r s_{\kappa,\lambda}^{n-1}(s)\,ds}$ が、$\operatorname{Ric}_M \geq (n-1)\kappa$ および $H_{\partial M} \geq \lambda$ の下で成り立つ。
• アニュラス $A_{t^i r_1, t^i r_2}(\partial M)$ の二重分割を用いて、$s_{\kappa,\lambda}^{n-1}$-重み付き積分の比による体積比の推定を行う。
• $t \to 1^-$ および $N \to \infty$ の極限をとることで、離散的体積積分から連続的体積積分への移行を行い、連続的比較不等式を回復する。
• 体積比較を用いて剛性を導出する：体積比で等号が成立するならば、多様体は距離空間としてモデル空間に等長である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲率および境界条件がどのような条件下で、境界の距離近傍の体積がバッチラー＝グロモフ型比較を満たすか？
• RQ2 体積比較で等号が成立するのはいつか？ そのとき、多様体はモデル空間に等長であるか？
• RQ3 リッチ曲率と平均曲率の下界がある条件下で、単一のレイヤーの存在のもとでチーリング＝グロモル型の分割定理を確立できるか？
• RQ4 このような曲率下界の下で、$p$-ラプラシアンの最小ディリクレ固有値はどのように振る舞うか？
• RQ5 この文脈において、距離空間の等長写像とリーマン等長写像の関係は何か？

主な発見

• 体積比較定理が証明された：$r \leq R$ のとき、$\frac{\operatorname{vol}_g B_R(\partial M)}{\operatorname{vol}_g B_r(\partial M)} \leq \frac{\int_0^R s_{\kappa,\lambda}^{n-1}(s)\,ds}{\int_0^r s_{\kappa,\lambda}^{n-1}(s)\,ds}$ が、$\operatorname{Ric}_M \geq (n-1)\kappa$ および $H_{\partial M} \geq \lambda$ の下で成り立つ。
• 体積成長の剛性定理が確立された：体積比が等号を満たすならば、多様体は距離空間としてモデル空間 $M^{n}_{\kappa,\lambda}$ に等長である。
• 単一のレイヤーの存在を仮定した下で、チーリング＝グロモル型の分割定理が証明された：そのようなレイヤーが存在するならば、多様体は $[0,\infty) \times \Sigma$ として等長に分割される。
• $p$-ラプラシアンの最小ディリクレ固有値に対する下界が得られた。これはカスエ（2004）によるラプラシアンに関する剛性結果を拡張する。
• すべての $\kappa \in \mathbb{R}$, $\lambda \in \mathbb{R}$ に対して、球条件を満たす限り、モデル空間 $M^{n}_{\kappa,\lambda}$ が明示的に構成された。これにより、定数平均曲率 $\lambda$ をもつ測地的球の存在が保証される。
• 本稿は、多様体とモデル空間の間の距離空間の等長写像が、この文脈においてリーマン等長写像と同値であることを示し、剛性結果において距離幾何を用いる正当性を裏付けた。