[論文レビュー] Rigidity of representations of hyperbolic lattices $\Gamma<PSL(2,\mathbb{C})$ into $PSL(n,\mathbb{C})$

Michelle Bucher, Marc Burger+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2014

Geometric and Algebraic Topology被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$\Gamma < PSL(2,\mathbb{C})$ における双曲的格子の $PSL(n,\mathbb{C})$ への表現に対して、3次におけるコhomological不変量を導入し、それが有界であり、かつその最大値に達するのは、格子の埋め込みと非可約表現 $PSL(2,\mathbb{C}) \to PSL(n,\mathbb{C})$ の合成によって得られる表現である場合に限ることを示している。この結果により、ボレルコhomologyを用いた表現の剛性現象が確立される。

ABSTRACT

If $\Gamma<PSL(2,\mathbb{C})$ is a lattice, we define an invariant of a representation $\Gamma o PSL(n,\mathbb{C})$ using the Borel cohomology class of $PSL(n,\mathbb{C})$ in degree three. We show that the invariant is bounded and its maximal value is attained by conjugation of the composition of the lattice embedding with the irreducible complex representation $PSL(2,\mathbb{C}) o PSL(n,\mathbb{C})$.

研究の動機と目的

• 双曲的格子 $\Gamma < PSL(2,\mathbb{C})$ の $PSL(n,\mathbb{C})$ への表現に対して、3次におけるコhomological不変量を定義すること。
• この不変量の有界性を調べ、その最大可能な値を特定すること。
• この最大値に達する表現を特徴づけ、剛性結果を確立すること。

提案手法

• PSL(n,$\mathbb{C}$) の3次におけるボレルコhomology類を用いて、表現 $\Gamma \to PSL(n,\mathbb{C})$ のための不変量を定義する。
• 有界コhomologyの理論を応用して、表現の変形における不変量の振る舞いを分析する。
• 不変量が、格子と $n$ に依存する有限値で上から有界であることを確立する。
• 最大値が、格子の埋め込み $\Gamma \to PSL(2,\mathbb{C})$ と非可約表現 $PSL(2,\mathbb{C}) \to PSL(n,\mathbb{C})$ の合成に同倣する表現である場合にのみ達成されることを証明する。
• PSL(2,$\mathbb{C}$)-格子およびその表現の構造を用いて、コhomology類の引き戻しを分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 格子 $\Gamma < PSL(2,\mathbb{C})$ に対して、表現 $\Gamma \to PSL(n,\mathbb{C})$ の3次ボレルコhomology不変量の範囲は何か？
• RQ2 この不変量は有界か？ もしそうなら、その上界は何か？
• RQ3 どの表現がこの不変量の最大値に達するか？
• RQ4 最大値は、非可約表現 $PSL(2,\mathbb{C}) \to PSL(n,\mathbb{C})$ を通じて得られる表現にのみ達成されるか？
• RQ5 この不変量は、$\Gamma$ の $PSL(n,\mathbb{C})$ への表現多様体における剛性を検出できるか？

主な発見

• ボレル類を用いて定義されたコhomological不変量は、すべての表現 $\Gamma \to PSL(n,\mathbb{C})$ に対して有界である。
• この不変量の最大値に達するのは、格子の埋め込み $\Gamma \to PSL(2,\mathbb{C})$ と非可約表現 $PSL(2,\mathbb{C}) \to PSL(n,\mathbb{C})$ の合成に同倣する表現である場合に限り、そのときに限る。
• この特徴づけにより、強い剛性性質が得られる：最大不変量を実現するのは、標準的な非可約表現に限られる。
• 有界性および最大性の結果から、標準的表現の任意の変形は、不変量を最大値を超えて増加させることができないことが導かれる。
• 不変量は、非標準的表現に対する完全な障害を提供し、双曲的格子の表現を分類する上でのその役割を強調している。