[論文レビュー] Rigorous Asymptotic Models of Water Waves

C. H. Arthur Cheng, Rafael Granero-Belinchón+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2018

Ocean Waves and Remote Sensing参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、オイラー方程式における二次および三次非線形相互作用をそれぞれ捕捉する二つの新しい水波モデル—2次および3次 $h$-モデル—の厳密な漸近的導出を提示する。波の傾きのパラメータ $\epsilon$ におけるストークス展開を用いて、速度、ストリーム関数、自由表面の進化に関する線形再帰関係を導出し、カタラン数の増加率を用いて解析関数空間における適切性を証明し、誤差評価を確立する。数値結果は、角の形成を含む高波傾きでも、完全な水波解と非常に良好な一致を示している。

ABSTRACT

We develop a rigorous asymptotic derivation for two mathematical models of water waves that capture the full nonlinearity of the Euler equations up to quadratic and cubic interactions, respectively. Specifically, letting epsilon denote an asymptotic parameter denoting the steepness of the water wave, we use a Stokes expansion in epsilon to derive a set of linear recursion relations for the tangential component of velocity, the stream function, and the water wave parameterization. The solution of the water waves system is obtained as an infinite sum of solutions to linear problems at each epsilon^k level, and truncation of this series leads to our two asymptotic models, that we call the quadratic and cubic h-models. Using the growth rate of the Catalan numbers (from number theory), we prove well-posedness of the h-models in spaces of analytic functions, and prove error bounds for solutions of the h-models compared against solutions of the water waves system. We also show that the Craig-Sulem models of water waves can be obtained from our asymptotic procedure and that their WW2 model is well-posed in our functional framework. We then develop a novel numerical algorithm to solve the quadratic and cubic h-models as well as the full water waves system. For three very different examples, we show that the agreement between the model equations and the water waves solution is excellent, even when the wave steepness is quite large. We also present a numerical example of corner formation for water waves.

研究の動機と目的

• オイラー方程式の完全な非線形性を二次および三次相互作用まで捉える数学的に厳密な水波の漸近的モデルの開発。
• 波の傾きパラメータ $\epsilon$ におけるストークス展開を用いて、時間依存流体領域の定式化を用いて2次および3次 $h$-モデルを導出すること。
• カタラン数の増加率を用いて、解析関数空間における $h$-モデルの適切性を証明すること。
• $h$-モデルの解と完全な水波系の解との間の定量的誤差評価を確立すること。
• 波の倒れ込みや角の形成を含む極端な波形を含む、完全なオイラー方程式に対する数値的妥当性の検証。

提案手法

• 波の傾きパラメータ $\epsilon$ におけるストークス展開を水波系に適用し、各 $O(\epsilon^k)$ 階層でストリーム関数、接線速度、自由表面パラメータ化に関する線形再帰関係が得られる。
• 無限級数を $O(\epsilon^3)$ で切り捨てることで2次 $h$-モデルが得られ、$O(\epsilon^4)$ で切り捨てることで3次 $h$-モデルが得られ、両者ともヒルバート変換 $H$ および分数ラプラシアン $\Lambda$ を含む非線形偏微分方程式として表現される。
• カタラン数の増加率を用いて解の解析性を制御することで、Gevrey型空間における収束を保証し、適切性を証明する。
• 漸近展開の剰余項の推定により、$h$-モデルと完全な水波系との間の誤差評価を導出する。
• スペクトル法と適応的時間分解能を有する時間積分法を用いた、$h$-モデルおよび完全な水波系を解くための新規数値アルゴリズムを開発する。
• 波の倒れ込みや角の形成を含む3つの異なる波形設定に対して、数値的比較を実施し、モデルの正確性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 水波における三次非線形相互作用までを捕捉する、数学的に厳密な漸近的手法を開発できるか？
• RQ2 このような漸近的モデルが解析関数空間で適切性を示すには、どのようにすればよいか？
• RQ3 $h$-モデルの解と完全な水波系の解との間の定量的誤差は何か？
• RQ4 Craig-Sulem WW2モデルは、この漸近的枠組みから回復可能であり、同じ関数的空間で適切性が保証されるか？
• RQ5 $h$-モデルは、高波傾きでも角の形成のような複雑な波動ダイナミクスを正確に捉えることができるか？

主な発見

• 2次 $h$-モデルは ${\partial_t^2 h + g\Lambda h = -\Lambda(|H\partial_t h|^2) + g\Lambda(h\Lambda h) + g\partial_1(h\partial_1 h)$ として導出され、二次非線形性を捕捉する。
• 3次 $h$-モデルには、$H\partial_t h$、$\Lambda h$ およびそれらの積を含む項の組み合わせからなる追加の三次非線形項 $\mathcal{Q}(h)$ が含まれる。
• カタラン数の増加率を用いて、両 $h$-モデルが解析関数空間で適切性を示すことが証明された。
• $h$-モデルと完全な水波解との間の誤差評価が確立され、波の傾きが大きくても高い正確性が示された。
• 数値シミュレーションでは、3つのテストケース（角の形成を含む）において、$h$-モデルと完全な水波系との間で非常に良好な一致が得られた。
• Craig-Sulem WW2モデルが同じ漸近的手続きから回復可能であり、同じ解析的枠組みで適切性が証明された。